lesson 01 方程组的几何解释

课程视频地址：

http://open.163.com/movie/2010/11/7/3/M6V0BQC4M_M6V29E773.htm

课程笔记转自以下地址（加上一些个人见解的补充）：

http://nbviewer.jupyter.org/github/zlotus/notes-linear-algebra/blob/master/chapter01.ipynb

好像没有输入公式的语法？所以方程组和矩阵都截图贴过来了。。。

1. 方程组和 “行图像” 和 “列图像”

• 行图像

我们从求解线性方程组来开始这门课，从一个普通的例子讲起：方程组有2个未知数，一共有2个方程，分别来看方程组的“行图像”和“列图像”。

有方程组：

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写作矩阵形式有：

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通常我们把第一个矩阵称为系数矩阵A，将第二个矩阵称为向量x，将第三个矩阵称为向量b，于是线性方程组可以表示为Ax=b。

那么，在直角坐标系中，这个方程组的行图像可以表示为：

方程组的“行图像”.png

在二维直角坐标系中，每个方程代表一条直线。上图是我们都很熟悉的直角坐标系中两直线相交的情况，相交的点即是方程组的解。

• 列图像

接下来我们按列观察方程组：

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我们把第一个向量称作col1，第二个向量称作col2，以表示第一列向量和第二列向量，要使得式子成立，需要第一个向量加上两倍的第二个向量，即：

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在二维平面上画出上面的列向量（即方程组的"列图像"）：

方程组的“列图像”.png

如上图，绿向量col1与蓝向量（两倍的蓝绿向量col2）合成红向量b。

接着，我们继续观察

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col1,col2 的某种线性组合得到了向量b，那么col1,col2的所有线性组合能够得到什么结果？它们将铺满整个平面。

2. 三个未知数的方程组

有方程组：

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写作矩阵形式：

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在三维直角坐标系中，每一个方程将确定一个平面，而例子中的三个平面会相交于一点，这个点就是方程组的解。

同样的，将方程组写成列向量的线性组合，观察列图像：

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这里是教授特意安排的例子中最后一个列向量恰巧等于等式右边的b向量，所以我们需要的线性组合为x=0,y=0,z=1。假设我们令：

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则需要的线性组合为x=1,y=1,z=0。

我们并不能总是这么轻易的求出正确的线性组合，所以下一讲将介绍消元法——一种线性方程组的系统性解法。

3. 方程组是否都有解？

现在，我们需要考虑，对于任意的b，是否都能求解Ax=b？用列向量线性组合的观点阐述就是，列向量的线性组合能否覆盖整个三维向量空间？对上面这个例子，答案是肯定的，这个例子中的A是我们喜欢的矩阵类型，但是对另一些矩阵，答案是否定的。那么在什么情况下，三个向量的线性组合得不到b？

如果三个向量在同一个平面上，问题就出现了——那么他们的线性组合也一定都在这个平面上。举个例子，比如col3=col1+col2，那么不管怎么组合，这三个向量的结果都逃不出这个平面，因此当b在平面内，方程组有解，而当b不在平面内，这三个列向量就无法构造出b。在后面的课程中，我们会了解到这种情形称为奇异、矩阵不可逆。

下面我们推广到九维空间，每个方程有九个未知数，共九个方程，此时已经无法从坐标图像中描述问题了，但是我们依然可以从求九维列向量线性组合的角度解决问题，仍然是上面的问题，是否总能得到b？当然这仍取决于这九个向量，如果我们取一些并不相互独立的向量，则答案是否定的，比如取了九列但实只相当于八列，有一列毫无贡献（这一列是前面列的某种线性组合），则会有一部分b无法求得。

4. 矩阵乘以向量的计算

接下来介绍方程的矩阵形式Ax=b，这是一种乘法运算，举个例子，取

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来看如何计算矩阵乘以向量：

• 一种方法是，使用列向量线性组合的方式，一次计算一列：

  
  
  

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• 另一种方法，使用向量内积，矩阵第一行向量点乘x向量（如何点乘？百度一下，你就知道）：
  

  

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教授建议使用第一种方法，将Ax看做A列向量的线性组合。