【BZOJ1057】[ZJOI2007] 棋盘制作（单调栈的运用）

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大致题意： 给你一个$N\ast M$的$01$矩阵，要求你分别求出最大的$01$相间的正方形和矩形（矩形也可以是正方形），并输出其面积。

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题解

这题第一眼看去没什么思路，仔细想想，能发现这道题其实是一道单调栈的运用题。

我们可以先对矩阵上的每一个元素进行预处理，求出以其为底的最长的 $01$柱。

然后对矩形（正方形）的下界进行枚举，即枚举每一行作为矩形（正方形）的下边。

此时，我们发现，只要使连续的01柱连续距离和这些$01$柱中最短的$01$柱的高度的乘积最大，就可以求出最大的矩形（最大的正方形同理）。

那么，我们该如何求出每一种情况呢？这时候就要用到单调栈。

我们可以建立一个严格递增的单调栈，每当单调栈栈顶的元素被弹出，我们就求出以它为右边界的最大矩阵。可以保证这样不会遗漏正确答案。

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代码

#include
#define N 2000
using namespace std;
int n,m,ans1,ans2,Stack[N+5],Val[N+5],a[N+5][N+5],h[N+5][N+5];
inline char tc()
{
	static char ff[100000],*A=ff,*B=ff;
	return A==B&&(B=(A=ff)+fread(ff,1,100000,stdin),A==B)?EOF:*A++;
}
inline void read(int &x)
{
	x=0;int f=1;char ch;
	while(!isdigit(ch=tc())) if(ch=='-') f=-1;
	while(x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',isdigit(ch=tc()));
	x*=f;
}
inline void write(int x)
{
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	if(x>9) write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
int main()
{
	register int i,j;
	for(read(n),read(m),i=1;i<=n;++i)
		for(j=1;j<=m;++j)
			read(a[i][j]);
	for(i=1;i<=m;++i) h[1][i]=1;
	for(i=2;i<=n;++i)//预处理出以每个元素为底部的最长01柱 
		for(j=1;j<=m;++j)
			h[i][j]=a[i-1][j]^a[i][j]?h[i-1][j]+1:1;//若其与上方的元素不同，则其可以与其上方元素构成一个01柱，否则以当前元素作为一个新的01柱
	for(i=1;i<=n;++i)//枚举矩形的下界
	{
		int top,num;//top记录栈顶，num记录当前元素最大能达到的距离
		a[i][m+1]=a[i][m]^1,h[i][m+1]=0,Stack[top=1]=1,Val[1]=h[i][1];
		for(j=2;j<=m+1;++j) 
		{
			num=j;
			if(!(a[i][j]^a[i][j-1]))//比较当前元素与前面的元素的异同，若相同，则清空栈并更新ans
			{
				while(top)
				{
					ans1=max(ans1,min(Val[top],j-Stack[top]));//先记录正方形的边长，最后再将其平方
					ans2=max(ans2,Val[top]*(j-Stack[top]));
					--top;
				}
			}
			while(top&&h[i][j]<=Val[top])//由于要严格满足单调递增，所以要将栈中大于等于当前元素的元素弹出
			{
				ans1=max(ans1,min(Val[top],j-Stack[top]));
				ans2=max(ans2,Val[top]*(j-Stack[top]));
				num=Stack[top--];
			}
			Stack[++top]=num,Val[top]=h[i][j];//将当前元素加入栈
		}
	}
	return write(ans1*ans1),putchar('\n'),write(ans2),0;
}