【字符串】【动态规划】最长公共子序列问题

动态规划法

经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。

为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。

 

【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列

问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

 

 

求解：

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

问题的递归式写成：

回溯输出最长公共子序列过程：

 

 

算法分析：    

由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m + n)。

/**
 * @author Joeson Chan
 *
 * 最长公共子序列问题
 */
public class LCS {

    public static void main(String[] args) {
        char[] x = "ABCBDAB".toCharArray();
        char[] y = "BDCABA".toCharArray();
        int xLength = x.length;
        int yLength = y.length;
        int[][] c = new int[xLength + 1][yLength + 1];
        int[][] b = new int[xLength + 1][yLength + 1];

        lcsLength(x, y, b, c);
        print(b, x, xLength, yLength);
    }

    private static void lcsLength(char[] x, char[] y, int[][] c, int[][] b) {

        for (int i = 1; i < x.length; i++) {
            for (int j = 1; j < y.length; j++) {
                if (x[i - 1] == y[j - 1]) {
                    c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
                    b[i][j] = 0;
                } else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1]) {
                    c[i][j] = c[i - 1][j];
                    b[i][j] = 1;

                } else {
                    c[i][j] = c[i][j - 1];
                    b[i][j] = -1;
                }
            }
        }
    }

    private static void print(int[][] b, char[] x, int i, int j) {
        if (i == 0 || j == 0) {
            return;
        }

        if (b[i][j] == 0) {
            //需要打印的节点
            print(b, x, i - 1, j - 1);
            System.out.print(x[i - 1] + " ");
        } else if (b[i][j] == 1) {
            //向上遍历
            print(b, x, i - 1, j);
        } else {
            //向左遍历
            print(b, x, i, j - 1);
        }
    }
}