算法基础篇(11)------平衡树

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导语

能够表达一定元素顺序的二叉树叫二叉搜索树。二叉搜索树通常能在O(logN)的时间复杂度下查找某些节点的元素值，但是其容易退化成一条链使得时间复杂度变成O(N)。为解决这个问题，平衡树就诞生了。那么平衡树是如何解决这个问题的？其具体实现逻辑又是如何？

平衡树

平衡树（Balanced Binary Tree）由G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis于1962年发明，因此又名AVL树。平衡树满足二叉搜索树的所有条件，而为了解决二叉搜索树退化成链的情况，平衡树还能保证任意节点的左右子树高之差不大于1。下图是普通二叉搜索树与平衡树的对比：

当一棵二叉搜索树是一棵平衡树的时候，每次元素查找的时间复杂度能稳定在O(logN)。那么，平衡树是如何保证任意节点的左右子树高之差不大于1的呢？我们不妨先想想左右子树高之差大于1的情况一共有哪几种，下图总结了4种“大于1”的情况：

对比上图发现，通过镜面变换，(1)和(4)可归为一类，(2)和(3)可归为一类。为了把“大于1”的搜索树调整成平衡树，我们通过一种“旋转”操作来实现。其中，对(1)(4)类型进行单旋，对(2)(3)类型则进行双旋。

上图对(1)进行单旋：把B提到树根，A变成B的右孩子，E变成A的左孩子，得到平衡树。同理可单旋(4)。

上图对(2)进行双旋。分两步：首先旋转A的左子树，使B为根的左子树的左子树高度大于相对的右子树高度；然后将E提到树根，A变成E的右孩子，得到平衡树。同理可双旋(3)。

平衡树的建树时间复杂度为O(NlogN)。此外，平衡树还有红黑树、SBT、Treap、Splay等几个变种，由于时间关系就不在此一一讲述了，感兴趣的读者可自行查阅资料。敬请期待下节内容。

结语

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