数值分析 第四章 非线性方程组求根

压缩映射

定义4.1 压缩映射

{|φ(x2)−φ(x1)|=L|x2−x1|L<1⇒φ(x)为压缩映射.

性质

1. 若 φ(x) 为压缩映射 ⇒φ(x)连续
2. {φ(x)连续∣∣φ′(x)∣∣⩽L<1⇒φ(x)为压缩映射.

收敛

收敛条件

⎧⎩⎨⎪⎪φ(x)∈C1[a,b]∣∣φ′(x)∣∣⩽L<1a⩽L⩽b⇒φ(x)收敛于唯一根α，α∈[a,b]

p 阶收敛

定义4.2 迭代法p阶收敛

limk→∞|ek+1||ek|p=C≠0

或

|xk+1−α|≈C|xk−α|p

这里 ek=xk−α .则称迭代法是p阶收敛的.

定理4.1

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪φ(x)在α邻域内充分光滑φ(α)=αφ′(α)=φ′′(α)=...=φ(p−1)(α)=0φ(p)(α)≠0p⩾2⇒limk→∞|ek+1||ek|p=1p!∣∣φ(p)(α)∣∣≠0

Newton方法

切线法

形式

xk+1=xk−f(xk)f′(xk)

收敛
当 |x0−α|<2m1M2 时切线法收敛，其中 m1 为 f′(x) 的最小值， M2 为 f′′(x) 的最大值。切线法为 一阶收敛（或 线性收敛），即 p=1 .

简单Newton法

形式

xk+1=xk−f(xk)M,M=f′(x0)

收敛
简单Newton法为 线性收敛，即 p=1 .

割线法

形式

xk+1=xk−f(xk)f(xk)−f(xk−1)xk−xk−1

收敛

limk→∞ek+1ekek−1=f′′(α)2f′(α)

割线法收敛阶为 p=1+5√2 .

带参 m 重根

因 m 重根，故设 f(x)=(x−α)mh(x) ，对 f(x) 求 1m 次幂有 [f(x)]1m=(x−α)[h(x)]1m .变成了单根。因此，便有了以下的迭代公式：
形式

xk+1=xk−[f(x)]1m([f(x)]1m)′=xk−mf(xk)f′(xk)

收敛
该方法为 二阶收敛（或 平方收敛），即 p=2 .

无参 m 重根

设辅助函数 u(x)=f(x)f′(x)=(x−α)mh(x)[(x−α)mh(x)]′=(x−α)h¯(x) .
形式

xk+1=xk−u(x)u′(x)

收敛
该方法为 二阶收敛（或 平方收敛），即 p=2 .