离散数学

一，离散数学概述

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离散的量相反的是连续的量
例如：接20，30电话，只可能是0或者非0，0到1，1到2，
不会出现1.1，1.2，这些，这些数的变化都是离散的量
或者鸡下了几个鸡蛋，
离散数学课程非常多；（数理逻辑，集合论，近世代数，图论）
离散数学又被称为计算机数学

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基本逻辑：数理逻辑，谓词逻辑
集合：研究数学的基石
图：二叉树：左序排序，中序查，右序排序
数：

证明技术：贯穿所有单元，如何证明相应的结论

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A<=>B 命题A 与B 等价关系

离散数学中各种符号大全
├ 断定符（公式在L中可证）

╞ 满足符（公式在E上有效，公式在E上可满足）

┐ 命题的“非”运算

∧ 命题的“合取”（“与”）运算

∨ 命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算

→ 命题的“条件”运算

A<=>B 命题A 与B 等价关系

A=>B 命题 A与 B的蕴涵关系

A* 公式A 的对偶公式

wff 合式公式

iff 当且仅当


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↑ 命题的“与非” 运算（ “与非门” ）

↓ 命题的“或非”运算（ “或非门” ）

□ 模态词“必然”

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辩证逻辑：就像高中学的辩证法的逻辑

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微积分绝大多数用的是：莱布尼兹数学家

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每一个都是确定的，例如：A就是A

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如何x = 89 的话，= 成立，如果不等于89 = 不成立，= 随着x的取值，有可能是真值，有可能不是真值，不确定真值

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有确定真值的陈述句，命题，真值是客观存在，独一无二，不是以我人类了解不了解为转移的

数学符号：
命题标题符：

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在数学逻辑中，命题变元（也称为句子变元）是一个可真可假的变量。命题变元是命题逻辑甚至较高逻辑中使用的命题公式的基本组成部分。
命题变元是指如果命题标识符只表示任意命题的位置标志。

使用

逻辑公式通常由一些命题变元，一些数量的逻辑连接符和一些逻辑量词构建起来。 命题变量是命题逻辑的原子公式（atomic formulas）。
举例：
在给定的命题逻辑中，我们可以定义这样一个公式：
（1）每个命题变元都是一个公式。
（2）给定一个公式X，那么X的否定¬X也是一个公式。
（3）给定两个公式X和Y，以及二元连接b（如逻辑连接∧），则（X b Y）是一个公式。
这样，命题逻辑的所有公式都是以命题变元为基础的。 命题变元不应和出现在命题演算的典型公理中的元变量混淆。

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二，联结词

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命题公式

命题公式(propositional formula)亦称合式公式，是数理逻辑术语，它是按照一定规律形成的符号序列，在命题演算中，公式通常用归纳定义给出，例如，在一个具有五个联结词ᒣ，∨，∧，→，≡的系统中，合式公式定义如下：1.命题变元和命题常元是公式；2.如果α是公式，则ᒣα也是公式；3.如果α，β是公式，则α∨β，α∧β，α→β，α≡β均为公式；4.只有由1～3条给出的才是公式。因此，根据上述定义，ᒣp，(p→q)∨ᒣp等是公式，而pᒣ，pq→等都不是公式 ^[1]

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已知的就是P规则
由已知推导出，就是T规则
假如：PvQ 就推导出第二个

3，假如是已知的
可以推导出4，根据原命题=逆否命题

根据2，4式，就可以得到非R ->Q

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得出结论是非A, 这边假设得出结论为A, 假如A 成立，那么A->B 为真，1式的A 表示蕴含式右边的A 结论A ,通过这个A->B 为真 ,又因为A 为真，那B 为真

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合取范式和析取范式 只有 “合取”和“析取” 和“非”的符号

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倒A和倒E

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偏序关系：

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传递性是在逻辑学和数学中，若对所有的 a，b，c ∈X，下述语句保持有效，则集合 上的二元关系 R 是传递的：「若a 关系到 b 且 b 关系到 c， 则 a 关系到 c。」

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这个入度，表示这个箭头指向这个小圆圈，如果没有指向小圆圈，就是说没有入度

就是表示一个节点的入度为0，其他的节点入读为1，那表示有向树

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入度为0 第一个根，入度为0，第一个点是根
出度为0 就是下面四个点，出度为0，所以是叶
中间三个出度点不为0，所以是分支点，这边根也是分支点
节点顺序，1，2，3，4，5，6，7，8
按照辈分来分的，按照一定的顺序来排列的
m叉数，这个图表示3叉数
因为最大的节点的出度为3，其他节点的出度都小于3，所以叫3叉树

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为什么有序数可以改写成二叉树呢，因为改写二叉树，对里边的有些信息没有损失啥，可以简化工作

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每个点的值都是权值

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函数

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@1 自变量要取遍x值， @2 如果x 对应Y,和对应x对应z 都属于函数X,那 蕴含出y=z

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解析：若X是有限元素的集合，则，f是入射 蕴含出 x的元素个数 和 f(x)的元素个数相等

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因为i 可以为 1，2，得到答案都为1/4，所有不是入射，因为能够随便可以写成分数形式，所以，都可以找到x里边的值，所以是满射

因为x,y的序偶不等于x+1,y+1的序偶，就是入射

图

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为什么双引号呢？
看图说话

有序的三元组为一个图

V(G)N个节点的集合
E(G)N条边的集合
(G)可以不要

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v：表示顶点，专业术语：节点，e：表示边

e9为有向边，其他e都是无向边

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欧拉图

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G是没有孤立点的图

如：如果经过1，2，3，4，经过每条边，且仅一次的这个没有闭迹，如果把1，和 4点连在一起，就是闭迹

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G无孤立点，G是E-图首先G是连通的，奇点：度数为奇数的话，度数：一个点关联的边的数目

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因为哈密尔顿图是经过点的，所以没有必要考虑重复边的问题

谓词逻辑

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当命题变量。当n==0 谓词就是命题，当n>1,谓词不是命题，当其中的每一个个体变量，代入以后，才能是命题