Noip模拟1 2018/10/17

T1: 序列(seq)
给定 N,A,B构造一个长度为 N 的排列,使得:
排列长度为 N;
最长上升子序列长度为 A;
最长下降子序列长度为 B。
我们有 SPJ,有解任意给出一组,否则说明无解。

感觉挺好想的,只是有解的情况没输出“Yes”,心态爆炸
先考虑N=A*B的情况
那么我们可以构造一个排列,有B个长度为A的上升子序列,满足每个子序列递减
在这么构造的情况下,若 N > A ∗ B ∣ ∣ N < A + B − 1 N>A*B || N<A+B-1 N>ABN<A+B1,则无解
若构造不满,先做k1个长度为A的上升子序列,最后有k2个点递减,多出来的添在 k + 1 k+1 k+1 ( k 1 + k 2 + 1 = B ) (k1+k2+1=B) k1+k2+1=B)
时间效率 O ( n ∗ t ) O(n*t) O(nt)

T2:购物(sum)
visit_world 有一个商店,商店里卖N个商品,第i 个的价格为 a[i]我们称一个正整数K 是美妙的,当且仅当我们可以在商店里选购若干个商品,使得价格之和落在区间[K,2K]中。
问:有多少个美妙的数。

orzJyc,辣鸡Hz误导
假设我们已经处理到 s u m sum sum s u m = ∑ j = 1 i a [ j ] sum=\sum_{j=1}^{i}a[j] sum=j=1ia[j],满足a[i]单调递增),考虑a[i]的贡献。
a [ i ] a[i] a[i]有贡献的为 ( a [ i ] + 1 ) 2 \frac {(a[i]+1)}{2} 2(a[i]+1),假如 ( a [ i ] + 1 ) 2 < = s u m \frac {(a[i]+1)}{2}<=sum 2(a[i]+1)<=sum,那么将 a [ i ] a[i] a[i]接在 s u m sum sum后面和之前不会有间隙,反之则说明从 s u m + 1 sum+1 sum+1 ( a [ i ] + 1 ) 2 − 1 \frac {(a[i]+1)}{2}-1 2(a[i]+1)1之间永远都取不到,取不到的部分记为p
那么答案就成了 s u m = ∑ i = 1 n a [ j ] − p sum=\sum_{i =1}^{n}a[j]-p sum=i=1na[j]p
时间效率 O ( n log ⁡ n ) O(n\log n) O(nlogn)

T3:计数(count)
考虑一个N个节点的二叉树,它的节点被标上了1∼N 的编号. 并且,编号为i的节点在二叉树的前序遍历中恰好是第i个出现.
我们定义Ai 表示编号为i的点在二叉树的中序遍历中出现的位置.
现在,给出M个限制条件,第i个限制条件给出了 u i , v i ui,vi ui,vi,表示 A u i < A v i Aui<Avi Aui<Avi ,也即中序遍历中ui在vi 之前出现.
你需要计算有多少种不同的带标号二叉树满足上述全部限制条件,答案对
1 0 9 + 7 10^9+7 109+7 取模.

此题20%卡特兰数白送。
考虑dp
f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]表示以 i i i为头 j j j为结尾的子树可能的情况
枚举一个 k ( i < = k < = j ) k (i<=k<=j) k(i<=k<=j),将 i , j i,j i,j分为两个子树,左子树 i + 1 , k i+1,k i+1,k,右子树 k + 1 , j k+1,j k+1,j,且左右子树均满足条件, f [ i ] [ j ] + = f [ i ] [ k ] ∗ f [ k + 1 ] [ j ] f[i][j]+=f[i][k]*f[k+1][j] f[i][j]+=f[i][k]f[k+1][j]
这样子判断效率为 n 4 n^4 n4,考虑优化判断过程
将条件 ( x , y ) (x,y) (x,y)映射到一个二维矩阵上,然后判断 ( k + 1 , j ) 到 ( i + 1 , j ) (k+1,j)到(i+1,j) (k+1,j)(i+1,j)上有没有不满足的条件,矩阵前缀和一下就好
时间效率 O ( n 3 ∗ t ) O(n^3*t) O(n3t)

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