一、思路(你可以用拓扑排序来做,但我这里没用拓扑排序)
(1)求事件Vi的最早可能开始时间是从源点V0到顶点Vi的最长路径长度。
如V0=0, V1=6,V2=4,V3=5;V4事件要等V1和V2事件完成后才可以进行,所以要取事件用的最长的时间,即V4=6+1=7,同样道理得出其他时间。
(2)事件Vi的最迟允许开始时间Vl[i]是在保证汇点Vn-1在Ve[n-1]时刻完成的前提下,事件Vi的允许的最迟开始时间。它等于Ve[n-1]减去从Vi到Vn-1的最长路径。
如:事件V2=Ve[n-1]-(a7+a10)-a5 = 18-11-1=6
(3)活动ak的最早可能开始时间Ae[k]=Ve[i](k=1,2,…)(i=0,1,…)
(4)活动ak的最迟允许开始时间Al[k]=Vl[j]-,j>
(5)用Al[k]-Ae[k]表示活动ak的最早可能开始时间和最迟允许开始时间的时间余量,也叫做松弛时间。Al[k]==Ae[k]表示活动ak是没有时间余量的关键活动。
事件 |
V0 |
V1 |
V2 |
V3 |
V4 |
V5 |
V6 |
V7 |
V8 |
Ve[i] |
0 |
6 |
4 |
5 |
7 |
7 |
16 |
14 |
18 |
Vl[i] |
0 |
6 |
6 |
Ve[8]-a11-a9-a6=8 |
7 |
10 |
16 |
14 |
18 |
边 |
<0, 1> |
<0, 2> |
<0, 3> |
<1, 4> |
<2, 4> |
<3, 5> |
<4, 6> |
<4, 7> |
<5, 7> |
<6, 8> |
<7, 8> |
活动 |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
a8 |
a9 |
a10 |
a11 |
Ae |
Ve[i]=Ve[0]=0 |
Ve[i]=Ve[0]=0 |
Ve[i]=Ve[0]=0 |
Ve[i]=Ve[1]=6 |
Ve[2]=0 4 |
5 |
7 |
7 |
7 |
16 |
14 |
Al |
Vl[1]-6=6-6=0 |
Vl[2]-<0,2>=6-4=2 |
Vl[3]-<0,3>=8-5=3 |
6 |
6 |
8 |
7 |
7 |
10 |
16 |
14 |
Al-Ae |
0 |
2 |
3 |
0 |
2 |
3 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
关键活动 |
是 |
|
|
是 |
|
|
是 |
是 |
|
|
是 |
二、实现程序:
1.Graph.h:有向图的链表表示
#ifndef Graph_h
#define Graph_h
#include
using namespace std;
const int DefaultVertices = 30;
template
struct Edge { // 边结点的定义
int dest; // 边的另一顶点位置
E cost; // 表上的权值
Edge *link; // 下一条边链指针
};
template
struct Vertex { // 顶点的定义
T data; // 顶点的名字
Edge *adj; // 边链表的头指针
};
template
class Graphlnk {
public:
const E maxValue = 100000; // 代表无穷大的值(=∞)
Graphlnk(int sz=DefaultVertices); // 构造函数
~Graphlnk(); // 析构函数
void inputGraph(); // 建立邻接表表示的图
void outputGraph(); // 输出图中的所有顶点和边信息
T getValue(int i); // 取位置为i的顶点中的值
E getWeight(int v1, int v2); // 返回边(v1, v2)上的权值
bool insertVertex(const T& vertex); // 插入顶点
bool insertEdge(int v1, int v2, E weight); // 插入边
bool removeVertex(int v); // 删除顶点
bool removeEdge(int v1, int v2); // 删除边
int getFirstNeighbor(int v); // 取顶点v的第一个邻接顶点
int getNextNeighbor(int v,int w); // 取顶点v的邻接顶点w的下一邻接顶点
int getVertexPos(const T vertex); // 给出顶点vertex在图中的位置
int numberOfVertices(); // 当前顶点数
private:
int maxVertices; // 图中最大的顶点数
int numEdges; // 当前边数
int numVertices; // 当前顶点数
Vertex * nodeTable; // 顶点表(各边链表的头结点)
};
// 构造函数:建立一个空的邻接表
template
Graphlnk::Graphlnk(int sz) {
maxVertices = sz;
numVertices = 0;
numEdges = 0;
nodeTable = new Vertex[maxVertices]; // 创建顶点表数组
if(nodeTable == NULL) {
cerr << "存储空间分配错误!" << endl;
exit(1);
}
for(int i = 0; i < maxVertices; i++)
nodeTable[i].adj = NULL;
}
// 析构函数
template
Graphlnk::~Graphlnk() {
// 删除各边链表中的结点
for(int i = 0; i < numVertices; i++) {
Edge *p = nodeTable[i].adj; // 找到其对应链表的首结点
while(p != NULL) { // 不断地删除第一个结点
nodeTable[i].adj = p->link;
delete p;
p = nodeTable[i].adj;
}
}
delete []nodeTable; // 删除顶点表数组
}
// 建立邻接表表示的图
template
void Graphlnk::inputGraph() {
int n, m; // 存储顶点树和边数
int i, j, k;
T e1, e2; // 顶点
E weight; // 边的权值
cout << "请输入顶点数和边数:" << endl;
cin >> n >> m;
cout << "请输入各顶点:" << endl;
for(i = 0; i < n; i++) {
cin >> e1;
insertVertex(e1); // 插入顶点
}
cout << "请输入图的各边的信息:" << endl;
i = 0;
while(i < m) {
cin >> e1 >> e2 >> weight;
j = getVertexPos(e1);
k = getVertexPos(e2);
if(j == -1 || k == -1)
cout << "边两端点信息有误,请重新输入!" << endl;
else {
insertEdge(j, k, weight); // 插入边
i++;
}
} // while
}
// 输出有向图中的所有顶点和边信息
template
void Graphlnk::outputGraph() {
int n, m, i;
T e1, e2; // 顶点
E weight; // 权值
Edge *p;
n = numVertices;
m = numEdges;
cout << "图中的顶点数为" << n << ",边数为" << m << endl;
for(i = 0; i < n; i++) {
p = nodeTable[i].adj;
while(p != NULL) {
e1 = getValue(i); // 有向边dest>
e2 = getValue(p->dest);
weight = p->cost;
cout << "<" << e1 << ", " << e2 << ", " << weight << ">" << endl;
p = p->link; // 指向下一个邻接顶点
}
}
}
// 取位置为i的顶点中的值
template
T Graphlnk::getValue(int i) {
if(i >= 0 && i < numVertices)
return nodeTable[i].data;
return NULL;
}
// 返回边(v1, v2)上的权值
template
E Graphlnk::getWeight(int v1, int v2) {
if(v1 != -1 && v2 != -1) {
Edge *p = nodeTable[v1].adj; // v1的第一条关联的边
while(p != NULL && p->dest != v2) { // 寻找邻接顶点v2
p = p->link;
}
if(p != NULL)
return p->cost;
}
return maxValue; // 边(v1, v2)不存在,就存放无穷大的值
}
// 插入顶点
template
bool Graphlnk::insertVertex(const T& vertex) {
if(numVertices == maxVertices) // 顶点表满,不能插入
return false;
nodeTable[numVertices].data = vertex; // 插入在表的最后
numVertices++;
return true;
}
// 插入边
template
bool Graphlnk::insertEdge(int v1, int v2, E weight) {
if(v1 >= 0 && v1 < numVertices && v2 >= 0 && v2 < numVertices) {
Edge *p = nodeTable[v1].adj; // v1对应的边链表头指针
while(p != NULL && p->dest != v2) // 寻找邻接顶点v2
p = p->link;
if(p != NULL) // 已存在该边,不插入
return false;
p = new Edge; // 创建新结点
p->dest = v2;
p->cost = weight;
p->link = nodeTable[v1].adj; // 链入v1边链表
nodeTable[v1].adj = p;
numEdges++;
return true;
}
return false;
}
// 有向图删除顶点较麻烦
template
bool Graphlnk::removeVertex(int v) {
if(numVertices == 1 || v < 0 || v > numVertices)
return false; // 表空或顶点号超出范围
Edge *p, *s;
// 1.清除顶点v的边链表结点w 边
while(nodeTable[v].adj != NULL) {
p = nodeTable[v].adj;
nodeTable[v].adj = p->link;
delete p;
numEdges--; // 与顶点v相关联的边数减1
} // while结束
// 2.清除,与v有关的边
for(int i = 0; i < numVertices; i++) {
if(i != v) { // 不是当前顶点v
s = NULL;
p = nodeTable[i].adj;
while(p != NULL && p->dest != v) {// 在顶点i的链表中找v的顶点
s = p;
p = p->link; // 往后找
}
if(p != NULL) { // 找到了v的结点
if(s == NULL) { // 说明p是nodeTable[i].adj
nodeTable[i].adj = p->link;
} else {
s->link = p->link; // 保存p的下一个顶点信息
}
delete p; // 删除结点p
numEdges--; // 与顶点v相关联的边数减1
}
}
}
numVertices--; // 图的顶点个数减1
nodeTable[v].data = nodeTable[numVertices].data; // 填补,此时numVertices,比原来numVertices小1,所以,这里不需要numVertices-1
nodeTable[v].adj = nodeTable[numVertices].adj;
// 3.要将填补的顶点对应的位置改写
for(int i = 0; i < numVertices; i++) {
p = nodeTable[i].adj;
while(p != NULL && p->dest != numVertices) // 在顶点i的链表中找numVertices的顶点
p = p->link; // 往后找
if(p != NULL) // 找到了numVertices的结点
p->dest = v; // 将邻接顶点numVertices改成v
}
return true;
}
// 删除边
template
bool Graphlnk::removeEdge(int v1, int v2) {
if(v1 != -1 && v2 != -1) {
Edge * p = nodeTable[v1].adj, *q = NULL;
while(p != NULL && p->dest != v2) { // v1对应边链表中找被删除边
q = p;
p = p->link;
}
if(p != NULL) { // 找到被删除边结点
if(q == NULL) // 删除的结点是边链表的首结点
nodeTable[v1].adj = p->link;
else
q->link = p->link; // 不是,重新链接
delete p;
return true;
}
}
return false; // 没有找到结点
}
// 取顶点v的第一个邻接顶点
template
int Graphlnk::getFirstNeighbor(int v) {
if(v != -1) {
Edge *p = nodeTable[v].adj; // 对应链表第一个边结点
if(p != NULL) // 存在,返回第一个邻接顶点
return p->dest;
}
return -1; // 第一个邻接顶点不存在
}
// 取顶点v的邻接顶点w的下一邻接顶点
template
int Graphlnk::getNextNeighbor(int v,int w) {
if(v != -1) {
Edge *p = nodeTable[v].adj; // 对应链表第一个边结点
while(p != NULL && p->dest != w) // 寻找邻接顶点w
p = p->link;
if(p != NULL && p->link != NULL)
return p->link->dest; // 返回下一个邻接顶点
}
return -1; // 下一个邻接顶点不存在
}
// 给出顶点vertex在图中的位置
template
int Graphlnk::getVertexPos(const T vertex) {
for(int i = 0; i < numVertices; i++)
if(nodeTable[i].data == vertex)
return i;
return -1;
}
// 当前顶点数
template
int Graphlnk::numberOfVertices() {
return numVertices;
}
#endif /* Graph_h */
2.AOE.h
#ifndef AOE_h
#define AOE_h
#include "Graph.h"
// 计算关键路径的算法
template
void CirticalPath(Graphlnk& G) {
int i, j, k, n;
E Ae, Al, w;
n = G.numberOfVertices(); // 图的顶点数
E *Ve = new E[n];
E *Vl = new E[n];
for(i = 0; i < n; i++) // 初始化最早开始事件时间
Ve[i] = 0;
// 正向计算Ve[i],时间Vi的最早可能开始时间:从源点V0到顶点Vi的最长路径长度
for(i = 0; i < n; i++) {
j = G.getFirstNeighbor(i); // 邻接顶点
while(j != -1) { // 存在邻接顶点
w = G.getWeight(i, j);
if(Ve[i] + w > Ve[j]) // 要等前面时间最长的活动完了,才可以进行j事件
Ve[j] = Ve[i] + w;
j = G.getNextNeighbor(i, j); // 下一个邻接顶点
}
}
// 逆向计算Vl[]
Vl[n-1] = Ve[n-1]; // 最终完成事件时间
for(j = n-2; j > 0; j--) {
k = G.getFirstNeighbor(j);
Vl[j] = Ve[n-1]; // 假设最大为Ve[n-1]
while(k != -1) { // 存在邻接边
w = G.getWeight(j, k);
if(Vl[k] - w < Vl[j])
Vl[j] = Vl[k] - w; // 事件最迟允许开始时间
k = G.getNextNeighbor(j, k);
}
}
for(i = 0; i < n; i++) { // 求各活动的Ae, A1
j = G.getFirstNeighbor(i);
while(j != -1) {
Ae = Ve[i]; // 活动ak最早可能开始时间
Al = Vl[j] - G.getWeight(i, j); // 时间j最迟可能开始时间-活动ak需要的时间
if(Al == Ae)
cout << "<" << G.getValue(i) << "," << G.getValue(j) << ">" << "是关键活动" << endl;
j = G.getNextNeighbor(i, j);
}
}
delete []Ve; // 释放动态分配的空间
delete []Vl;
}
#endif /* AOE_h */
3.main.cpp
#include "AOE.h"
int main(int argc, const char * argv[]) {
Graphlnk G; // 声明图对象
// 创建图
G.inputGraph();
cout << "图的信息如下:" << endl;
G.outputGraph();
// 调用计算关键路径的函数
cout << "关键路径如下:" << endl;
CirticalPath(G);
return 0;
}
测试数据:
9 11
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 6
0 2 4
0 3 5
1 4 1
2 4 1
3 5 2
4 6 9
4 7 7
5 7 4
6 8 2
7 8 4
测试结果: