5.2 FIR滤波器的卷积（脉冲响应、频率响应，幅频响应,暂态-搞不清楚的有救了啊）

-5.2 FIR滤波器的卷积
如果将抽头系数的个数用M表示：卷积公式如下：

上述困扰大多大学生的卷积公式如何理解呢？
h（k）就是滤波器的信道系数，x（n-k）是所谓经过延迟k个器件后的数据。
这句话不理解的话，可以结合上一节，我们所化的FIR框图来理解。

单位脉冲响应’
一个滤波器的单位脉冲响应就如同它的名字一样：它是滤波器对一个单位脉冲序列的响应，也就是当滤波器的输入是一个单位脉冲时的时域输出序列。

单位脉冲序列：就是在某一个时刻有一个有用信息进入，以表示为1，其余时刻全部没有输入信号，表示为0.

从某种意义上讲：当某人问你一个FIR滤波器的脉冲响应时，他等于是在问你FIR滤波器的系数。因为FIR滤波器的系数是个数有限的，所以它的脉冲响应在时域上也是有限的，即FIR滤波器有限脉冲响应。

脉冲序列与信道系数卷积获得脉冲响应。
如上图所示，我们一直把信道卷积系数定义为1/5，也就是每次都是计算的过去5分钟，平均每分钟的车流量。
很明显，我们可以通过更改滤波器的系数，可以使它具有更好的表现。

如何评价一个滤波器是否表现良好
我们可以通过定义滤波器的频率响应来判断滤波器是否“”表现“”良好
频率响应：y(n)=h(k)*x(n) 其中h(k)代表的是**脉冲响应（FIR滤波器的系数）**也就是过去h（k）分钟，每分钟平均车流量。

利用时域相卷等于频域相乘，滤出掉我们不想要的频率的部分，我们可以得到想要的频率部分，然后再对信号做IDFT。

那么可以对h(k)做FFT，那么就可以得到滤波器的幅频响应|H（m）|和相频特性

下图是五个点1/5，我们再扩展到64个点，再做FFT，可以得到幅频响应。b图是归一化后的幅频特性

• 暂态

  可以观察到输出信号和输入信号频率相同，这是LTI系统的本质，输入某个频率的正弦信号，输出同样是该频率的正弦信号，只不过幅度和相位发生了改变。

  其次，可以注意到输出信号的前面4个点不是正弦形状的，这些点只是滤波器的暂态过渡响应。在这种抽头延迟线FIR滤波器中，过渡响应点数与滤波器的延拓单元数量D相同，在过渡响应之后才是滤波器的稳态时域响应。

  它意味着对于拥有D个延迟器的抽头延迟线FIR滤波器而言，前面D个系统的输出并不能代表系统对该序列的正确响应。直到D+1个输出才是系统对该序列的准确响应。

  如果换一个更高频率的的输入信号，输出信号也是同频率的正弦波，但是幅度却降为了原来的0.69.
  这是由低通滤波器的本质决定的，低通滤波器对高频信号的衰减大于低频信号的衰减幅度。

• 总结
  FIR滤波器的时域卷积是通过对移位的输入信号与信道系数的乘积求和得到的。

FIR滤波器的输出序列等于输入序列与信道脉冲响应（信道抽头系数）的卷积。

FIR滤波器的幅频响应等于该滤波器脉冲响应的DFT

FIR滤波器的输出信号幅频响应等于输入信号幅频响应和滤波器自身幅频响应的乘积

时域相卷等于频域相乘