复变函数的积分

基本

基本和普通函数的积分类似，把复数符号 i 当成一个普通的系数，运算过程几乎是一模一样的。

一些厉害的定理

先声明 C 表示一个圆周： |z−z0|=r ，那么有：

∮c1(z−z0)ndz={2πi,n=10,n>1

这个定理很有用，于是计算一些积分的时候看到类似 1(z−z0)3dz 之类的形式直接可以知道答案是 0 .

构造参数方程的方法

z=z1+t(z2−z1)

参数是 t , z1,z2 是两个边界，这样就能用 t 来表示 z , 达到换元的效果。

柯西定理

若 f(z) 在 B 内解析，则 f(z) 在 B 内任意闭曲线 C 的积分等于0.

∮Cf(z)dz=0

于是计算某个区域的积分时可以转化成内部不解析点附近的圆周积分，具体怎么算马上会说到！

有的时候看数学定理觉得繁琐，为什么每句话前面都要有假设这个那个，假设这个那个，总想着在自己写的时候省略掉，但发现这是无法精简的，因为假设是一个学科的基本精神，所有的发展都是基于各种各样的假设来的，所以学习理科必须要和各种各样的假设打交道，这其中的耐心也是一种能力。

大的曲线积分=小圈积分之和，这里的小圈是指不解析点附近的小圈，多大都可以，结果是一样的。

柯西公式

这是强大的柯西积分的衍生品： f(z) 在 C 内解析， z0∈C 是不解析点，则：

∮Cf(z)z−z0dz=2πif(z0)∮Cf(z)(z−z0)n+1dz=2πif(n)(z)n!