[Codeforces585E]Present for Vitalik the Philatelist（容斥原理+组合数学）

题目描述

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题意：给出一列数，对于每一个数，求选出一个不包含当前数的非空子集满足子集与当前数gcd为1，并且子集中的所有数的gcd不为1的方案数，统计总和。

题解

首先考虑对于一个数，若它为质数，那么所有不是它倍数的数都和所有是它倍数的数互质
假设个数分别为x,y
那么它计算的答案应该为 x∗(C1y+C2y+...+Cyy)=x∗(2y−1)
但是如果对于质数p和质数q都这样计算的话，p和q的公倍数会被重复计算
那么就需要运用到容斥原理，也就是一个质数的乘积-两个质数+三个质数…
可以发现容斥系数就是莫比乌斯函数取反

代码

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define N 10000000
#define LL long long
#define Mod 1000000007

int n;
int mi[500005],p[N+3],prime[7000000],mu[N+3],ans;
LL f;

void get(int n)
{
    for (int i=2;i<=n;++i)
    {
        if (!p[i])
        {
            prime[++prime[0]]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for (int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;++j)
        {
            p[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
int main()
{
    get(N);
    memset(p,0,sizeof(p));
    scanf("%d",&n);
    mi[0]=1;for (int i=1;i<=n;++i) mi[i]=mi[i-1]*2%Mod;
    for (int i=1;i<=n;++i)
    {
        int x;scanf("%d",&x);
        ++p[x];
    }
    for (int i=2;i<=N;++i)
    {
        if (!mu[i]) continue;
        f=0;
        for (int j=i;j<=N;j+=i)
            f+=p[j];
        f=(LL)(n-f)*(mi[f]-1)%Mod;
        ans=(ans-mu[i]*f)%Mod;
    }
    ans=(ans%Mod+Mod)%Mod;
    printf("%d\n",ans);
}