莫比乌斯反演 学习笔记

预备知识

枚举除法

⌊ni⌋ 只有 O(n√) 种取值
并且对于i， ⌊n⌊ni⌋⌋ 是i被n除并下取整取值相同的一段区间的右端点

一个非常有用性质：
⌊nab⌋=⌊⌊na⌋b⌋=⌊⌊nb⌋a⌋

积性函数

f(ab)=f(a)f(b),(a,b)=1
完全积性函数：不要求ab互质。

若函数 f(n) 为积性函数，那么
f(n)=∏if(pkii)
并且由于 f(a∗1)=f(a)∗f(1)
可以得出 f(1)=1

常见函数

id(n)=n
e(n)=[n=1]
1(n)=1
d(n)= n的约数数量
σ(n)= n所有约数的和
除了最后一个其余都是积性函数

狄利克雷卷积

对于算术函数 f(n),g(n) ，定义其狄利克雷卷积
(f×g)(n)=∑d|nf(d)g(nd)
比如说一个公式 n=∑d|nφ(d) 就可以表示为： id=φ×1
狄利克雷卷积的运算满足：
（1）交换律： f×g=g×f
（2）结合律： (f×g)×h=f×(g×h)
（3）分配律： f×(g+h)=f×g+f×h

几个性质：
1、存在单位函数 e 满足 f=f×e=e×f
可以根据卷积的定义理解一下，枚举 n 的约数时，只有当 d=n 时 e(nd)=1
2、如果 f,g 都为积性函数，那么 f×g 也为积性函数

莫比乌斯函数 μ

定义

（1）若 d=1 ，那么 μ(d)=1
（2）若 d=p1p2..pk ， pi 均为互异素数，那么 μ(d)=(−1)k
（3）其他情况下， μ(d)=0

显然， μ 为积性函数。

性质

[n=1]=∑d|nμ(d)
即 1×μ=e
不会证明…

莫比乌斯反演

公式

F(n) 和 f(n) 是定义在非负整数集合上的两个函数
若满足条件 F(n)=∑d|nf(d)
那么可以得出结论 f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)
即已知 F=f×1
则 f=μ×F

证明

利用狄利克雷卷积证明莫比乌斯反演公式
1° 已知 F=f×1 ，两边同乘 μ 得 F×μ=f×1×μ
2° 1×μ=e ，那么 F×μ=f×e
3° 又因为 f×e=f ，得出 f=μ×F
证毕

另一个公式

F(n) 和 f(n) 是定义在非负整数集合上的两个函数
若满足条件 F(n)=∑n|df(d)
那么可以得出结论 f(n)=∑n|dμ(dn)F(d)

似乎这个公式在做题的时候更常用些
因为反演的题gcd用的比较多…

化式子常用技巧

∑i=1n∑d|i=∑d=1n⌊nd⌋

杜教筛

栗子：求 ∑i=1nφ(i) ， ∑i=1nμ(i) ， 1≤n≤231−1

关于杜教筛：
求 F(n)=∑if(i) ,存在 g=f×I , I 表示恒等函数，即 g=∑d|nf(d)
我们定义 G(n)=∑ig(i) ,就可以得到 F(n)=G(n)−∑iF(⌊ni⌋)
如果 G(n) 可以在一定时间内求解，那么我们最好情况下可以做到 O(n23) 的时间求解 F(n)

假设计算出 F(n) 的复杂度为 T(n) ，则有 T(n)=O(n√)+∑i=1n√T(i)+T(ni) ，这里只展开一层就可以了，更深层的复杂度是高阶小量，所以有 T(n)=∑∑i=1n√O(i√)+O(ni−−√)=O(n34) 。
如果用筛法预处理前k个 F(n) ，且 k≥n√ ，则复杂度变为 T(n)=∑i=1nkni−−√=O(nk√) ，当 k=O(n23) 时可以取到较好的复杂度 T(n)=O(n23) 。

实际上上面的复杂度证明我也不懂…只是搬运了神犇的讲解…

φ

利用一个反演公式 n=∑d|nφ(d)=∑d|n,d<nφ(d)+φ(n)
得出 φ(n)=n−∑d|n,d<nφ(d)
那么设 P(n)=∑i=1nφ(n)
P(n)=∑i=1nφ(n)
=∑i=1n(i−∑d|i,d<iφ(d))
=n(n+1)2−∑i=1n∑d|i,d<iφ(d)
令 i=id
那么原式 =n(n+1)2−∑id=1n∑d|id,d<idφ(d)
=n(n+2)2−∑i=2n∑d=1⌊ni⌋φ(d)=n(n+1)2−∑i=2nP(⌊ni⌋)
也就是说 P(n)=n(n+1)2−∑i=2nP(⌊ni⌋)

μ

设 M(n)=∑i=1nμ(i)
同样利用一个反演公式 1(n)=∑d|nμ(d) 来化简
1(n)=∑i=1n[i=1]=∑i=1n∑d|iμ(d)=∑i=1n∑d=1n[d|i]μ(id)
令 i=id
那么原式 =∑id=1n∑d=1nμ(i)=∑d=1n∑i=1⌊nd⌋μ(i)=∑i=1n∑d=1⌊ni⌋μ(d)=∑i=1nM(⌊ni⌋)
也就是说 ∑i=1nM(⌊ni⌋)=1
又因为 M(n)=∑i=1nM(⌊ni⌋)−∑i=2nM(⌊ni⌋)
所以 M(n)=1−∑i=2nM(⌊ni⌋)
咦怎么感觉就是省了点常数…

加几个链接：
http://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009
http://jiruyi910387714.is-programmer.com/posts/195270.html
http://www.cnblogs.com/abclzr/p/6242020.html

例题