圆周率与信息论
1.圆周率包含了宇宙奥秘？
圆周率是一个无理数，无理数 = 无限+不循环
很多人还认为它是个正规数，正规数 = 小数点后每个数字出现概率相等
所以，理论上说它可能包含了世界上的所有信息？
这个说法我最早在《信息简史》中看到，很多文章也有这样的说法：
你的生日，银行卡密码，大英百科，莎士比亚全集。。。还有，这篇文章，都可以找到
我们来这里https://www.1415926pi.com/看一下，它可以检测你所输入的序列出现在 的哪儿
比如我的银行卡密码：
在小数点后第10140332位成功查找到数字：4100591177 23345669889533959
哦，天呐，这么神奇吗？
难道是上帝设计宇宙的蓝图？
2.圆周率究竟包含了多少信息？
= 宇宙蓝图
宇宙蓝图 = 无穷无尽的信息量
= 无穷无尽的信息量
非常完美，证毕
等等，圆周率是怎么被计算出来的？
在一代代数学家的努力下，方法很多，我随便贴一个吧，无穷级数法
写代码计算一下，是不是非常简单：
public double PI(double z){ //z是精度
double sum=2;
int n=1;
int m=3;
double t=2;
while(t>z){
t=t*n/m;
sum=sum+t;
n++;
m+=2;
}
当然这里会受限于运行速度和语言本身的基本类型的限制，但是从逻辑角度而言没影响
也就是说，我给你一个不到1k的文档，你把它放进足够快的电脑跑一跑 = 我给了你宇宙蓝图
这么说来，难道。。。
我是上帝？
这里有的人会开始困惑，一方面， 中确确实实的包含了那些信息，我们也查到了
另一方面，显然我不是上帝，我除了那个程序外没有给你任何其他信息。结果你却可以得到那么多信息！
3.信息论基本概念复习小课堂
是信息，程序也是信息，莎翁全集也是信息。。。
这么混乱吗？信息到底是什么？
来分解一下，消息，信息容量，信息量，信息熵
我们真正要的那个，其实是信息量，就是：能让不确定性的减少，确定性增加的东西
也就是说，当一个事件发生概率无限大的时候，你告诉我了，也不会法消除什么不确定性，比如“男足不会夺冠”，也就是俗称的----“废话”，废话的信息量趋近于0.
那么具体信息量该怎么计算呢？
设该事件发生的概率为p，比如我面对一道我不会的单选，我选对正确答案B的概率p，是1/4
我的好朋友，学霸，好心人----小明给了我一个纸条，上面写了：“答案是B”
对我而言，小明的纸条中携带的信息是：log2(1/p)= log2(4)= 2bit
下一题，我听课了！了解！我知道一定不是C和D！我选对正确答案B的概率p，是1/2
我的好朋友，学霸，好心人----小明给了我一个纸条，上面写了：“答案是B”
对我而言，小明的纸条中携带的信息是：log2(1/p)= log2(2)= 1bit
小明给我的纸条就叫消息，消息是信息的载体，消息是具体的而信息是抽象的
我们在定义一个小球的热能时，知道要去了解它的质量，材质，温度，把条件限定起来
在定义纸条携带的信息时，把纸条限定住就够了么？当然不是
前面提到，即使小明的纸条没变，携带的信息量也是不一样的
“不确定性的增减”，是要和讨论的环境息息相关的，跟我是不是学霸是不是听课了是选择题还是判断题，相关的
那么之前说的“信息”，实则类似于这种说法：“一张纸条，很小，长度允许写2位，可以写0和1，所以它携带的信息量是2bit”
这个概念其实指的是纸条的信息容量，我们把它们给混淆了
4.我是上帝么？
有了上面的概念，这个问题可以被改写为：，或者说那个程序中，是否真的蕴含了无穷的信息？
又可以被改写为：是否减少了不确定性？
接受了教训，我们学会了要完整定义问题，上面那种描述是不严谨的：不确定？什么不确定？
我定义了如下几个问题：
1.给定或程序，请钢蛋从中找出一本《莎士比亚全集》，这样可以提供给我100000000000bit（乱写的）的信息量
结果：钢蛋根本不知道《莎士比亚全集》是啥，作为一个文盲，他甚至连《金瓶梅》都没看过，所以那个，连1bit都提供不了
2.钢蛋有或程序，也有《莎士比亚全集》，告诉我这本书出现在哪？
结果：相当于这样一个情况，我在考试，一道题的答案是ABCD（序列），在我完全不知道做的情况下，要知道正确答案的位置（《全集》的位置），看起来我现在需要log2(4/1) = 2bit的信息。
但是要想一下，这2bit的信息（比如“答案是B”），是这道题给我的么？是出题老师给我的么？难道不是我的好朋友，学霸，好心人----小明，给的吗？
也就是说，即使钢蛋告诉了我一个值，比如莎翁全集出现在1101010100110101010位，这个信息是钢蛋给我的，其实跟这个序列完全无关，序列仍然连1bit都没提供
3.紧接2，有人会问：如果你要的就是《莎翁全集》这本书的信息呢？这样虽然坐标位置是钢蛋提供的，但是《全集》的信息难道不是给你的么？怎么能说一无是处呢？一些有想象力的朋友可能会发现一个生财之道：
卖电子书
我找到你的淘宝店，在上面下单，买一本《莎士比亚全集》
你给我发了一段生产的代码+《全集》首次出现的位置+《全集》的长度
perfect！新的编码方式发现了！超大数据快速传输新方法发现了！图灵奖唾手可得！
好，生产的代码我们有了，现在缺首次出现位置了！未来的计算机很快，用暴力对比或者KMP匹配都可以秒找
那么，匹配序列的首位可能出现哪里呢？
设《全集》共有x位
随便在序列中选一个位置做开头，它匹配《全集》首位的概率是1/2（二进制编码），第二位也匹配的概率是1/2，照此循环，正确找到开头的概率p是：1/2^x，那么这个位置在序列中出现的期望长度 == 一个每次中奖概率为p的彩票，中奖一次的期望是买多少次？
ES = np = 1，n就是次数，n = 1/p，也就是2^x，首次出现的期望位置是2^x处
这是个位置，表示这个位置要多大的信息容量呢？log2（2^x）= x位
回头看一下：“设《全集》共有x位”
（╯－＿－）╯╧╧
这像什么？像不像一次一密的加密过程？
顺便提一下量子加密通讯，一对纠缠粒子本身虽然能传递一些“消息”，但是由于表达的方式（比如偏振角）是随机的，其实完全没有传递任何信息，它传递的是密钥而非密文，密文还是要用经典信道传递的。这就好比我们的序列，它能传递一些东西，但并不是信息。举个例子，我们把一对手套拆散后包起来，你一只我一只，你走到天涯海角后打开一看，左手的，你马上就能知道我这里是右手的这一信息，但是能传递信息么？并不能，你能做的可能是在被窃听的线路上打电话给我：
“喂，帮我照顾一下我的生命之光，我的一生挚爱”
“哪个？”
“你那儿是左就是黄小姐，你那是右就是陈小姐，懂了吧，我不能多言”
“懂了，放心吧”。
这就是为什么真实有效的信息通讯还是要依赖传统信道，不能靠“玄学”。当然，也不能靠