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向大(hei)佬(e)实力学(di)习(tou)
主席树主要用于处理区间的问题,其中区间不一定是单纯的区间,还是可以将题目中的一些信息转化一下(如 操作、时间等),即需要查询区间信息的数据,还需要用线段树用的题目,就可以用主席树。
以前有畏难心理,总觉得主席树好复杂,各种逃避。后来再次学习,总算是学会了基础的东西。
主席树通常是前缀和和线段树的结合,下面以一道经典题:区间第k大 为例
第k大,想到用值域线段树。区间可以转化为前缀,相减即可。即对每一个前缀节点建线段树,但如果暴力建,就完蛋了(^10),完美爆空间
仔细一想,每一个线段树和前一个相比,其实只修改了一个点。我们只需要新建树根到新增叶子节点路径上的点就可以了,其他的指向前一棵树的对应位置
放一张图来理解的更直观一些(灰色格子是虚点)
由此可见,空间复杂度为n*logn,可以接受
建树代码
void insert(Node *&ndn,Node *ndp,int le,int ri,int pos){//ndn当前的节点,注意要加&修改.ndp前一个节点,同步
ndn=newnode();
ndn->sum=ndp->sum+1;
if(le==ri) return ;
ndn->ls=ndp->ls,ndn->rs=ndp->rs;
int mid=(le+ri)>>1;
if(pos<=mid) insert(ndn->ls,ndp->ls,le,mid,pos);
else insert(ndn->rs,ndp->rs,mid+1,ri,pos);
}
这里有一个小技巧。因为指针常常指出去,就RE了,为了避免这一点以及不需要对root[0]先花2*n的空间建空树,我们这里用一个null的自环来表示空节点。妈妈再也不用担心我的指针写挂啦~(≧▽≦)/~
struct Node{
Node *ls,*rs;
int sum;
}*root[N],*null,pool[N*50],*tail=pool;
int main(){
null=++tail;
null->ls=null->rs=null;
null->sum=0;
root[0]=null;
}
然后就是查询,其实很简单,就像普通的值域线段树和前缀和区间查询就可以了
int query(Node *ndn,Node *ndp,int le,int ri,int pos){
if(le==ri) return le;
int lsum=ndn->ls->sum - ndp->ls->sum;//前缀和
int mid=(le+ri)>>1;
if(pos<=lsum) return query(ndn->ls,ndp->ls,le,mid,pos);
else return query(ndn->rs,ndp->rs,mid+1,ri,pos-lsum);
}
关键就解决了,至于区间第k大的题需要离散化,就不赘述了
完整代码
#include
#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
const int N=100000+5;
const int oo=1000000000+7;
struct Node{
Node *ls,*rs;
int sum;
}*root[N],*null,pool[N*50],*tail=pool;
struct aa{
int nu,val;
}hh[N];
int n,m,rank[N];
bool cmp1(aa a,aa b){
return a.valreturn a.nu*newnode(){
Node *rt=++tail;
rt->ls=rt->rs=null;
rt->sum=0;
return rt;
}
void insert(Node *&ndn,Node *ndp,int le,int ri,int pos){
ndn=newnode();
ndn->sum=ndp->sum+1;
if(le==ri) return ;
ndn->ls=ndp->ls,ndn->rs=ndp->rs;
int mid=(le+ri)>>1;
if(pos<=mid) insert(ndn->ls,ndp->ls,le,mid,pos);
else insert(ndn->rs,ndp->rs,mid+1,ri,pos);
}
int query(Node *ndn,Node *ndp,int le,int ri,int pos){
if(le==ri) return le;
int lsum=ndn->ls->sum - ndp->ls->sum;
int mid=(le+ri)>>1;
if(pos<=lsum) return query(ndn->ls,ndp->ls,le,mid,pos);
else return query(ndn->rs,ndp->rs,mid+1,ri,pos-lsum);
}
int main(){
null=++tail;
null->ls=null->rs=null;
null->sum=0;
root[0]=null;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&hh[i].val);
hh[i].nu=i;
}
sort(hh+1,hh+n+1,cmp1);
int sz=0,tmp=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(tmp!=hh[i].val){
sz++;tmp=hh[i].val;
rank[sz]=tmp;hh[i].val=sz;
}
else hh[i].val=sz;
}
sort(hh+1,hh+n+1,cmp2);
for(int i=1;i<=n;i++)
insert(root[i],root[i-1],1,sz,hh[i].val);
int x,y,k;
while(m--){
scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
printf("%d\n",rank[query(root[y],root[x-1],1,sz,k)]);
}
return 0;
}
当然,主席树不只可以解决区间第k大的问题,灵活的变形后还可以解决不少问题。前段时间考了一套大佬的自编题,第一题就是变型的主席树,附上链接:
http://blog.csdn.net/coco56181712/article/details/75647313