35. 数组中的逆序对

题目描述

在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。 即输出P%1000000007

解题思路

暴力解法

顺序扫描整个数组，每扫描到一个数字的时候，逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小，则这两个数字就组成一个逆序对。假设数组中含有n个数字，由于每个数字都要和O(n)个数字作比较，因此这个算法的时间复杂度是O(n2)。

分治思想

采用归并排序的思路来处理，如下图，先分后治

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先把数组分解成两个长度为2的子数组，再把这两个子数组分解成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组，一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7>5，因此（7,5）组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组{6}，{4}中也有逆序对（6,4），由于已经统计了这两对子数组内部的逆序对，因此需要把这两对子数组进行排序，避免在之后的统计过程中重复统计。

逆序对的总数=左边数组中的逆序对的数量+右边数组中逆序对的数量+左右结合成新的顺序数组时中出现的逆序对的数量；

image.png

总结统计数组逆序对的过程：先把数组分隔成子数组，先统计出子数组内部的逆序对的数目，然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中，还需要对数组进行排序，其实这个排序过程就是归并排序的思路。

代码实现

private long cnt = 0;
private int[] tmp;  // 在这里声明辅助数组，而不是在 merge() 递归函数中声明

public int InversePairs(int[] nums) {
    tmp = new int[nums.length];
    mergeSort(nums, 0, nums.length - 1);
    return (int) (cnt % 1000000007);
}

private void mergeSort(int[] nums, int l, int h) {
    if (h - l < 1)
        return;
    int m = l + (h - l) / 2;
    mergeSort(nums, l, m);
    mergeSort(nums, m + 1, h);
    merge(nums, l, m, h);
}

private void merge(int[] nums, int l, int m, int h) {
    int i = l, j = m + 1, k = l;
    while (i <= m || j <= h) {
        if (i > m)
            tmp[k] = nums[j++];
        else if (j > h)
            tmp[k] = nums[i++];
        else if (nums[i] < nums[j])
            tmp[k] = nums[i++];
        else {
            tmp[k] = nums[j++];
            this.cnt += m - i + 1;  // nums[i] >= nums[j]，说明 nums[i...mid] 都大于 nums[j]
        }
        k++;
    }
    for (k = l; k <= h; k++)
        nums[k] = tmp[k];
}