【BZOJ】集合计数-组合数学/容斥原理/线性推逆元

传送门：bzoj2839集合计数

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题意

一个有N个元素的集合有2^N个不同子集（包含空集），现在要在这2^N个集合中取出若干集合（至少一个），使得
它们的交集的元素个数为K，求取法的方案数，答案模1000000007。

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数据范围

对于100%的数据，1≤N≤1000000；0≤K≤N；

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题解

首先学一波线性推逆元。
设模为p。现在对于1,2,3…p-1求在模p(p为质数)意义下的逆元。
首先设：
p=k⋅i+q(0<i<p,0<q<i) p = k · i + q ( 0 < i < p , 0 < q < i )
则：
k⋅i+q≡0 (mod p) k · i + q ≡ 0   ( m o d   p )
同时乘上 i−1,q−1 i − 1 , q − 1 :
k⋅q−1+i−1≡ 0 (mod p) k · q − 1 + i − 1 ≡   0   ( m o d   p )
移项得：
i−1≡−k⋅q−1 (mod p) i − 1 ≡ − k · q − 1   ( m o d   p )
即：
i−1≡−⌊pi⌋⋅(p mod i)−1 (mod p) i − 1 ≡ − ⌊ p i ⌋ · ( p   m o d   i ) − 1   ( m o d   p )
这样就可以愉快的推逆元啦~~
然后本蒟蒻模了一发详细的题解。
保证至少选k个的，枚举每一种情况。
而至少有这k个元素的集合有 2n−k 2 n − k 个，我们可以要或者不要，那么就 22n−k 2 2 n − k 种方案。
但是我们至少要选择一个集合（该集合恰为这k个数），所以事实上是 22n−k−1 2 2 n − k − 1 种方案。
但在这样无脑枚举的时候，会把交集大于k的算重（非常显然），然后我们又会发现，算重的次数也是有规律的，所以容斥一下？？
然后式子它长这样：
Σni=k(−1)i−kc(k,i)c(i,n)(22n−i−1) Σ i = k n ( − 1 ) i − k c ( k , i ) c ( i , n ) ( 2 2 n − i − 1 )
大家还是去看上面贴的那篇题解吧(本蒟蒻说不清楚了)

代码

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=1e6+10;
const int mod=1e9+7;
typedef long long ll;
ll e[N],inv[N],ans;
int n,k;

int main(){
    e[1]=1;e[0]=1;inv[0]=1;
    for(int i=2;i1]*(ll)i%mod;
    }
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i*inv[mod%i]%mod;
    }
    for(int i=2;i*inv[i-1]%mod;
    }
    scanf("%d%d",&n,&k);
    int st;ll t=2;
    if((n-k)%2==0) st=1;
    else st=-1;
    for(int i=n;i>=k;i--,st=-st){
        ll ret=e[n]*inv[i-k]%mod*inv[k]%mod*inv[n-i]%mod*(t-1)%mod;
        t=t*t%mod;
        ans=((ans+st*ret)%mod+mod)%mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;

}