数据结构与算法分析之平衡二叉树的建立

• 平衡二叉树的概念：
  平衡二叉树是二叉查找树的一个进化体，也是第一个引入平衡概念的二叉树。平衡二叉树又称AVL树。

• 平衡二叉树的性质：
  对于每个结点来说，它的左右子树的高度之差不能超过1，如果插入或者删除一个结点是的高度之差大于1，就要进行结点之间的旋转，将二叉树重新维持在一个平衡状态。

• 下面会一步一步的讲解如何写平衡二叉树，重点是平衡二叉树的核心部分，也就是旋转算法。

  -第一步：创建节点信息
  相对于二叉排序树的节点来说，我们需要用一个参数描述二叉树的高度，目的是维护插入和删除过程中的旋转算法。

//AVL树节点信息
//类模板，类中的内置类型都可以用模板形参名T声明
template
class TreeNode
{
public:
//类的声明，初始化列表       
TreeNode():lson(NULL),rson(NULL),freq(1),hgt(0){}
        T data;//值
        int hgt;//以此节点为根的树的高度
        unsigned int freq;//频率
        TreeNode* lson;//指向左儿子的地址
        TreeNode* rson;//指向右儿子的地址
};

• 第二步：平衡二叉树类的声明

声明中的旋转函数将在后边的步骤中详解。

//AVL树类的属性和方法声明
template<class T>
class AVLTree
{
    private:
        TreeNode<T>* root;//根节点
        void insertpri(TreeNode<T>* &node,T x);//节点插入
        TreeNode<T>* findpri(TreeNode<T>* node,T x);//节点查找
        void insubtree(TreeNode<T>* node);//中序遍历
        void Deletepri(TreeNode<T>* &node,T x);//删除节点
        int height(TreeNode<T>* node);//求树的高度
        void SingRotateLeft(TreeNode<T>* &k2);//LL左左情况下的旋转
        void SingRotateRight(TreeNode<T>* &k2);//RR右右情况下的旋转
        void DoubleRotateLR(TreeNode<T>* &k3);//LR左右情况下的旋转
        void DoubleRotateRL(TreeNode<T>* &k3);//RL右左情况下的旋转
        int Max(int cmpa,int cmpb);//求最大值

    public:
        AVLTree():root(NULL){}
        void insert(T x);//插入接口
        TreeNode<T>* find(T x);//查找接口
        void Delete(T x);//删除接口
        void traversal();//遍历接口

};

• 第三步：两个辅助方法
  旋转算法需要借助两个辅助的功能：
  一个是求树的高度，一个是求两个高度的最大值。这里规定，一棵空树的高度为-1，只有一个根节点的数的高度为0，以后每多一层高度增加1。

//计算以节点为根的树的高度
template<class T>
int AVLTree::height(TreeNode* node)
{
    if(node!=NULL)
    //传入了高度的数据
        return node->hgt;
    return -1;
}
//求最大值
template<class T>
int AVLTree::Max(int cmpa,int cmpb)
{
    //判断大小的运算
    return cmpa>cmpb?cmpa:cmpb;
}

第四步：旋转函数
对于一个平衡的节点，由于任意节点最多有两个儿子，因此高度平衡时，此节点的两颗子树的高度差2，一般为下列四种情况：
　1、6节点的左子树3节点高度比右子树7节点大2，左子树3节点的左子树1节点高度大于右子树4节点，这种情况成为左左。
　2、6节点的左子树2节点高度比右子树7节点大2，左子树2节点的左子树1节点高度小于右子树4节点，这种情况成为左右。
　3、2节点的左子树1节点高度比右子树5节点小2，右子树5节点的左子树3节点高度大于右子树6节点，这种情况成为右左。
　4、2节点的左子树1节点高度比右子树4节点小2，右子树4节点的左子树3节点高度小于右子树6节点，这种情况成为右右。
　
分析：从上图可以看出，1和4两种情况是对称的，简单的说，LL和RR情况是只要经过一次旋转就可以达到平衡，我们称之为单旋转。2和3两种情况也是对称的，RL和LR。这两种情况的旋转算法也是一致的，需要进行两次旋转，我们称为双旋转。
2. 第五步：单旋转
单旋转是针对于LL和RR两种情况的解决方案，下图是LL情况的解决方案，结点k2不满足平衡特性，因为它的左子树k1比右子树Z高2层，而且在k1子树中，更深一层的是k1的左子树X子树，所以是LL情况。
为了恢复树的平衡，我们需要把K1变成这棵树的根节点，因此把K2结点顺时针旋转，然后把K1的右子树设置成K2的左子树，这样就满足了平衡二叉树的性质了。

//左左情况下的旋转
template<class T>
void AVLTree<T>::SingRotateLeft(TreeNode<T>* &k2)
{
    //分为三步:K2的左子树连接上K1，K1的右子树连接上K2的左子树，最后K1变成根结点，右子树连接上K2。
    TreeNode<T>* k1;
    k1=k2->lson;
    k2->lson=k1->rson;
    k1->rson=k2;
//计算K2结点的高度（取左子树和右子树最高的一个）
    k2->hgt=Max(height(k2->lson),height(k2->rson))+1;
//计算K1结点的高度，同理。
    k1->hgt=Max(height(k1->lson),k2->hgt)+1;
}
//右右情况下的旋转
template<class T>
void AVLTree<T>::SingRotateRight(TreeNode<T>* &k2)
{
//与上述LL型的唯一区别就是第二步，把K1的左子树连接上K2的右子树上。
    TreeNode<T>* k1;
    k1=k2->rson;
    k2->rson=k1->lson;
    k1->lson=k2;

    k2->hgt=Max(height(k2->lson),height(k2->rson))+1;
    k1->hgt=Max(height(k1->rson),k2->hgt)+1;
}

第六步：双旋转
对于LR和RL这两种情况，是需要经过两次旋转。双旋转是针对这两种情况的解决方案，下面以LR情况为例。

为了使树恢复平衡，我们需要经过两步旋转，第一步，把K1作为根，进行一次RR旋转，旋转之后变成LL情况，所以第二步再进行一次LL旋转，最后得到平衡二叉树。

template<class T>
void AVLTree::DoubleRotateLR(TreeNode* &k3)
{
//LR型，第一步进行RR旋转，以K3的子叶为根进行；第二步进行LL旋转，以K3为根进行。
    SingRotateRight(k3->lson);
    SingRotateLeft(k3);
}
//右左情况的旋转
template<class T>
void AVLTree::DoubleRotateRL(TreeNode* &k3)
{
//RL型，第一步进行LL旋转，以K3的子叶为根旋转；第二步进行RR旋转，以K3为根进行。
    SingRotateLeft(k3->rson);
    SingRotateRight(k3);
}

转载：http://www.cppblog.com/cxiaojia/archive/2012/08/20/187776.html
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