二分图最大匹配
先上定义：
一、二分图
二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图
也就是一个图被划分成了两个不相交的集合，集合内部没有边相连。
二、匹配
1、匹配
在一个二分图G中，它的一个子集M，里面的任意两条边都不依附于同一个顶点，也就是一个顶点只有一条边与之相连。
这一个子集M就是一个匹配。例如下图中的，图3，图3即为图2的一个匹配
2、匹配点，匹配边，未匹配点，非匹配边
很明显，图3，图4中的红线即为匹配边，与匹配边相连的点为匹配点，其余的为未匹配点和非匹配边
3、最大匹配
二分图中匹配的边数最多的匹配即为最大匹配，图4即为图2的最大匹配。
4、完美匹配
一个图中所有的点都为匹配点的匹配，例如图4： 1,2,3,4,5,6,7,8都是匹配点，这样的匹配就是完美匹配。
显然完美匹配一定是最大匹配，而最大匹配不一定是完美匹配。
三、匈牙利算法
求解二分图最大匹配匹配所用的方法之一就是匈牙利算法。
匈牙利算法的根本是求增广路径。
交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边，匹配边，非匹配边......这样的路径为交替路
増广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果经过了一个未匹配点（不包括起点），则这条路径为増广路。
増广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多1.
而匈牙利算法就是不断地寻找増广路，当找不到増广路时即达到最大匹配。
匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。
以下转自https://blog.csdn.net/dark_scope/article/details/8880547
感觉讲的特别通俗易懂......%%%
-------等等，看得头大？那么请看下面的版本：
通过数代人的努力，你终于赶上了剩男剩女的大潮，假设你是一位光荣的新世纪媒人，在你的手上有N个剩男，M个剩女，每个人都可能对多名异性有好感（-_-||暂时不考虑特殊的性取向），如果一对男女互有好感，那么你就可以把这一对撮合在一起，现在让我们无视掉所有的单相思（好忧伤的感觉），你拥有的大概就是下面这样一张关系图，每一条连线都表示互有好感。
本着救人一命，胜造七级浮屠的原则，你想要尽可能地撮合更多的情侣，匈牙利算法的工作模式会教你这样做：
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一： 先试着给1号男生找妹子，发现第一个和他相连的1号女生还名花无主，got it，连上一条蓝线
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二：接着给2号男生找妹子，发现第一个和他相连的2号女生名花无主，got it
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三：接下来是3号男生，很遗憾1号女生已经有主了，怎么办呢？
我们试着给之前1号女生匹配的男生（也就是1号男生）另外分配一个妹子。
(黄色表示这条边被临时拆掉)
与1号男生相连的第二个女生是2号女生，但是2号女生也有主了，怎么办呢？我们再试着给2号女生的原配()重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的，这是一个递归的过程)
此时发现2号男生还能找到3号女生，那么之前的问题迎刃而解了，回溯回去
2号男生可以找3号妹子~~~ 1号男生可以找2号妹子了~~~ 3号男生可以找1号妹子
所以第三步最后的结果就是：
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四： 接下来是4号男生，很遗憾，按照第三步的节奏我们没法给4号男生腾出来一个妹子，我们实在是无能为力了……香吉士同学走好。
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这就是匈牙利算法的流程，其中找妹子是个递归的过程，最最关键的字就是“腾”字
其原则大概是：有机会上，没机会创造机会也要上
附上我的模板
//二分图最大匹配、最小点覆盖
#include
using namespace std;
#define maxn 10010
int n,m,cx[maxn],cy[maxn],nx,ny,by;//nx,ny表示x集合顶点个数，ny表示y集合顶点个数，cx,cy用来记录与之匹配的点是哪一个
bool edge[maxn][maxn],used[maxn];//used用来记录当前的点是否被访问过
int line(int u)
{
for(int i=1;i<=ny;i++){
if(edge[u][i]&&!used[i]){
used[i]=1;
if(cy[i]==-1||line(cy[i])){
cx[u]=i;
cy[i]=u;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int maxmatch()
{
memset(cx,-1,sizeof(cx));
memset(cy,-1,sizeof(cy));
int sum=0;
for(int i=1;i<=nx;i++){
if(cx[i]==-1){
memset(used,0,sizeof(used));
sum+=line(i);
}
}
return sum;
}
int main()
{
while(~scanf("%d",&n)){
int x,y;
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d%d",&x,&y);
edge[x][y]=1;
}
scanf("%d%d",&nx,&ny);
printf("%d\n",maxmatch());
}
}
例题：
poj 1463
是一个最小点覆盖的模板题，只是需要拆点，一个点拆成2个，把n个点分别放在左图和右图，把单向边转为双向边
这样得出的最大匹配数要除2.
然后这个题亲测邻接矩阵存边会T。。。所以采用邻接表
#include
#include
#include
#define exp 1e-8
#define mian main
#define pii pair
#define pll pair
#define ll long long
#define pb push_back
#define PI acos(-1.0)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define w(x) while(x--)
#define int_max 2147483647
#define lowbit(x) (x)&(-x)
#define gcd(a,b) __gcd(a,b)
#define pq(x) priority_queue
#define ull unsigned long long
#define sc(x) scanf("%d",&x)
#define scl(x) scanf("%lld",&x)
#define pl(a,n) next_permutation(a,a+n)
#define ios ios::sync_with_stdio(false)
#define met(a,x) memset((a),(x),sizeof((a)))
using namespace std;
const int N=1510;
int n,cy[N];
bool used[N];
struct node
{
int v,next;
}e[N*2];
int head[N*2];
int tot;
void add(int u,int v)
{
e[++tot].next=head[u];
e[tot].v=v;
head[u]=tot;
}
bool line(int u)
{
for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
int v=e[i].v;
if(!used[v]){
used[v]=1;
if(cy[v]==-1||line(cy[v])){
cy[v]=u;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int maxmatch()
{
met(cy,-1);
int sum=0;
for(int i=0;i 补充一些知识点
最大匹配数：最大匹配的边数
最小点覆盖：用最少的顶点数使得二分图G中的每条边都至少与其中一个点相关联
最小边覆盖/最小路径覆盖：是指用尽量少的不相交简单路径覆盖二分图中的所有顶点
最大独立数：选取最多的点，使他们两两都不相连
最小点覆盖=最大匹配数
最大独立数：顶点-最小点覆盖
最小路径覆盖：顶点数-最大匹配数