数值分析(2)-误差

2 误差 in 数值分析

在计算中，计算结果的精确度十分重要，误差就是影响精度的东西

2.1 误差的来源和分类

误差来源主要有四种：

• 模型误差

数学模型，即表示计算的公式或方程，本身就是近似的，就不就不精确，这种情况导致的误差，就叫模型误差。

• 观测误差

对物理世界中的参数进行观测时产生的误差，比如测定一个人的身高，无论用多么精密的工具，肯定都会存在误差。

• 截断误差

用近似方法所产生的误差，也叫方法误差，比如利用泰勒(Taylor)公式：

$$e^x=1+\frac{x}{1!}+...+\frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}{e}^{\theta x}$$

我们要计算左边的值，那么现实不允许我们计算无穷多项，所以只能近似使用：

$$e^x\approx I=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}$$

此时上面公式的截断误差就是：

$$R=e^x-I=\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}{e}^{\theta x},0<\theta <1$$

• 舍入误差

由于计算机字长有限和浮点数表示方法的问题，计算机会按照舍入原则对超出其表示精度的数据舍入，导致结果的不精确。

数值分析中，一般假定模型正确，不考虑模型误差和观测误差。

模型误差和截断误差的区别

根据前面所说，这两种误差都是公式上存在误差。

实际上泰勒公式本身这个模型是精确的，只是我们实际计算的数值方法是近似的，这就是二者区别。数学模型是精确的情况下，为了能够计算（无穷多项是计算不出来的），我们会使用带有截断误差的近似数值方法。

2.2 绝对误差、相对误差和有效数字

• 绝对误差：

设x是精确值$x^{\ast }$的一个近似值：

$$e=x^{\ast }-x$$

e就称为x的绝对误差，简称误差。如果：

$$|e|\le \epsilon$$

则称$\epsilon$为近似值x的绝对误差限或者绝对误差界，简称误差限、误差界

需要知道的是，绝对误差是无法精确求出来的，因为我们无法知道精确值的真实数值到底是多少。

同时，绝对误差也存在局限性，因为它没有反应相对于精确之误差所占比例。比如，（1,1.1)、(100,100.1)这两组数都是误差为0.1，但是因为其数值大小不同，误差造成的影响也大有不同。所以便产生了下面概念：

• 相对误差

$$e_r=\frac{e}{x^{\ast }}=\frac{x^{\ast }-x}{x^{\ast }}$$

$e_r$就是相对误差，但是同样因为精确值是未知的，所以相对误差也常取：

$$e_r=\frac{e}{x}=\frac{x^{\ast }-1}{x}$$

同时，相对误差绝对值的上界$|e_r|$;

$${\epsilon }_r=\frac{\epsilon }{|x|}$$
$$|e_r|\le {\epsilon }_r$$

称$\epsilon$为相对误差限或相对误差界

• 有效数字

书上原话：

设数x是$x^{\ast }$的近似值，如果x的绝对误差限是它的某一数位的半个单位，并且从x左起第一个非零数字到该位共有n位，那么就称这n个数字为x的有效数字，也称用x近似$x^{\ast }$时具有n位有效数字。

2.3 数值计算中的几个原则

• 避免两个相近的数相减

这会让有效数位减少，相对误差放大

• 防止大数"吃掉"小数

由于计算机位数限制，和大数在一起，小数可能会被低位溢出掉

• 绝对值太小的数不宜作除数

绝对值太小的除法结果，会非常大，可能会导致数据高位溢出

• 注意简化计算程序，减计算次数

还是由于计算机位数，每一步计算都会放大误差，积累误差

• 使用数值稳定性好的算法

数值稳定：舍入误差积累可控制。

误差积累必须可控制，否则算法没有实用价值。