Apr 23st 数字图像处理连载（10）

Apr 23st 数字图像处理连载（10）

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3.3.4 在图像增强中使用直方图统计

我们直接从直方图中的统计参数可以用来进行图像增强。这里的话我们使用一个参数 r 进行表示在 [0,L−1] 范围内的代表灰度值的一个离散随机变量，并且让 P(ri) 表示对应 ri 的归一化直方图分量，我们可以把这个 p(ri) 看作是直方图灰度 ri 出现的概率统计。
这里的话， r 关于均值n阶矩的定义为：
μn(r)=∑L−1i=0(ri−m)np(ri)
这个式子中， m 是 r 的均值，也就是图像中像素的平均灰度：
m=∑L−1i=0(ri−m)2p(ri)
这里的话，我们更注意二阶矩。这里的话我们把这个表达式称之为灰度方差，通常我们使用 σ2 进行表示，这里的话标准差就是方差的平方根。在这里我们让均值是平均灰度的度量，方差作为平均对比度的度量。
我们仅仅处理均值和方差的时候，常常直接从去样值进行估计，这些统计量我们称之为取样均值和取样方差。这里的话，我们可以由基本的统计学具体给出：
这里我们计算一幅图像的平均灰度，是通过求所有像素的灰度值之和并且使用图像中的像素总数去除。
这里的话全局均值和方差我们是在整张图像中进行计算的。这对于灰度以及对比度的总体调整是有用的。另外一种更加有效的应用方式是局部增强。这个在局部增强中，局部均值以及局部方差是根据每一个像素之间邻域的图像特征进行改变的。
一般来说，我们使用局部均值和方差进行图像处理的重要方面是其灵活性。提供简单而强有力的基于统计度量的增强技术，然而统计度量与图像的外观有着紧密的联系。
一般来说，使用直方图统计的局部增强，可以解决暗部细节的特征结构不可见的问题，我们通过对比度操作进行局部增强，可以解决部分隐含特征问题。
很多的特殊情况下，我们需要解决的问题是增强暗色的区域，同时尽可能的保持明亮区域不变。一般来说，我们判断一个区域在点 (x,y) 处到底是属于亮区域还是暗区域，我们使用把局部区域平均灰度 msxy 以及与之表示的 mG 称之为全局均值的平均图像灰度进行比较。这样子的话我们就可以得到增强方案的基础：如果 msxy≤k0mG ，这其中 k0 是一个小于1.0的正常时，这样子的话我们就把 (x,y) 这些像素考虑为处理的候选点。
这些时候，我们主要的感兴趣的是增强低对比度的区域，所以我们还需要一种方法来确定一个区域的对比度作为增强的候选点，如果我们选择到的 σSxy≤k2σG ，这个时候的话我们可以认为点 (x,y) 处的像素是增强的候选点。这里的话 σG 是我们通过计算的全局标准差，这里的话 k2 是正常数，如果我们感兴趣的是增强亮区域，那么这个常数大于1.0；对于暗区域，则小于1.0。
最后，我们需要限制能够接受的最低的对比度的值，否则的话这个过程会试图增强标准差为0的一个恒定区域，最后我们通过要求 k1σG≤σSxy ，其中， k1≤k2 ，对于局部的标准差设置一个较为低的限制值。满足局部增强所有条件的一个位于点 (x,y) 的像素，可以简单的通过处理像素值乘以一个指定的常数E来进行处理。便于相对于图像的其他部分增大（减小）灰度值，不满足增强条件的像素保持不变。
这种增强的方法可以通过总结：
令 f(x,y) 表示图像在任意坐标的 (x,y) 处的像素值，而令 g(x,y) 表示这些坐标出相应的增强像素值，则对于 x=0,1,2,3,...,M−1,y=0,1,2,3,....,N−1 ，那么就有：

g(x,y) = \left\{
\begin{array}{rcl}
E * f(x,y)& text{m_{s_{xy}} \leq k_0m_G && k_1 {\sigma_G} \leq {\sigma_{S_{xy}}} \leq {k_2} \sigma_G}\\
f(x,y) \\
\end{array}

这里的话， mG 是输入图像的全局均值； σG 是输入图像的标准差，参数 mSxy 和 σSxy 分别是局部均值和标准差，按照惯例， M 和 N 是图像的行数和列数。

3.4 空间滤波基础

空间滤波是图像处理领域应用最为广泛的工具。滤波这个词本质上来自于频率域上面的处理。滤波是指接受（通过）拒绝一定的频率成分。通过低频的滤波器成为低通滤波器，这个的最终效果是模糊（平滑）一幅图像。这里的话，我们可以用空间滤波器直接作用图像本身完成类似的平滑。与此同时，线性空间的滤波与频率域的滤波之间存在一一对应的关系，但是空间滤波有很多的功能。

3.4.1 空间滤波机理

空间滤波器是由一个(1)一个邻域（通常是一个较小的矩形）；（2）对于该邻域所包围的图像像素执行的预定义操作组成。我们滤波产生一个新的像素，那么新的像素的坐标也就是邻域中心坐标，像素的值是滤波操作的结果。滤波器每一块模版核的中心访问了输入图像中的每一个像素之后，就产生了处理（滤波）后的图像。如果我们在图像的像素上执行的是线性操作，这个滤波器称之为线性空间的滤波器。
这里的话，主要重点关注线性滤波器。在这里我们选择一个 3∗3 为邻域的线性空间滤波，在图像中的任意一点 (x,y) ，滤波器的响应 g(x,y) 是滤波器系数和由该滤波器的所包围图像像素的乘积之和：
g(x,y)=w(−1,−1)f(x−1,y−1)+w(−1,0)f(x−1,y)+...+w(0,0)f(x,y)+...+w(1,1)f(x+1,y+1)
很明显，滤波器的中心系数 w(0,0) 对准位置 (x,y) 的像素，对一个大小为 m∗n 的模版，我们假设 m=2a+1 且 n=2b+1 ，这里的话 a,b 都属于正整数。一般来说，使用一个大小为 m∗n 的滤波器对一个大小为 M∗N 的图像进行线性空间滤波，可以用下列式子进行表示：
g(x,y)=∑as=−a∑bt=−bw(s,t)f(x+s,y+t)
这个式子中， x,y 可变，这样子 w 中的每一个像素可以访问 f 中的每一个像素。

3.4.2 空间相关与卷积

首先在执行线性空间滤波的时候，会使用到两个相关的概念——相关和卷积。相关是滤波器模版经过图像并且计算每一个位置乘积之和的处理。卷积的机理相似，但是滤波器首先需要旋转 180∘
很多时候因为模版操作的问题，模版有存在无法覆盖完全的部分函数，这里的解决方法是在 f 的一侧补全0，使得 w 中每一个像素都可以访问得到 f 中的每一个像素。这里的话，如果滤波器的尺寸为 m ，那么我们对于一个一维函数来说，我们需要在一侧补上 (m−1) 个0。除了零填充之外，还有一种办法是在 f 的两侧复制第一个元素和最后一个元素 m−1 次，或者镜像第一个元素和最后一个元素 m−1 次，并且使用填充使用景象后的值。
通过书本上P90上面的实例可以看出，我们通过了相关计算和卷积计算之后，卷积和相关计算存在关系。