【搞基数据结构】【树套树】ZOJ2112 Dynamic Rankings kth_number

动态查询区间第k小，包括两个操作Q x y k和C i j，查询区间x y的第k小和把第i个数安替换成j。

静态的区间k小可以用划分树或者归并树，动态的就只能树套树或者树状数组套主席树，树状数组套主席树暂时还没有写出来，这里讲一下树套树的两种写法。

首先考虑到线段树可以用于区间查询，而平衡树可以查询某个数字的名次【小于或者小于等于这个数字的个数】，这样考虑到用线段树套平衡树的方式实现查询某个数字在区间x y上的名次，于是得到建树方式是：按区间建立线段树，线段树的每一个结点建立一棵平衡树，因为无法直接查询第k小，那么只能采用二分答案的方式，查询数字区间x y上的名次，这样查询的总复杂度是二分答案一个logn，线段树上一个logn，平衡树上一个logn，总的复杂度就是log^3n；更新就是线段树的单点更新方式，对于结点每个平衡树先把原来的值删掉，再把新的值加上去，总复杂度是log^2n。空间复杂度，线段树一共logn层，每层n个结点，所以总的空间是nlogn。

还有另一种树套树的方式可以把查询的复杂度变成log^2n，不过要先离线读入然后离散化。

这里首先考虑如何用线段树查询整个数列的第k大，首先将数列离散化然后按值域建立一棵线段树，将每个点插入并维护区间里插入的数字个数，每次查询的时候先看左子树有没有k个数，如果有就查询左子树的第k小，否则去右子树查询第k-左子树，当线段树上的区间l==r时返回l就是离散化以后的答案。

区间查询的话，就是每个节点建一个下标平衡树，查询左子树有多少>=x && <=y的个数，超过k就在左子树查询，否则去右子树查询。

这种建树方式需要离线读入，如果要强制在线的话可以将值域建成一棵线段树，然后每次更新时不更新到底，而是打标记，需要查询时再向下建树，不过这种方法我没有实现过，因为不知道怎么打标记。

下面两个是两种不同建树方式的提交情况，0168是按下标建树，2535是按值建树。

我是采用线段树套treap，因为treap比较好写。

按下标建树：

int id(int l,int r){ return l+r | l!=r; }
int tree[N<<1];
struct treap{ int key,wht,count,sz,ch[2]; }tp[N*20];
int nodecount;
void init(){ tp[0].sz=0; tp[0].wht=-INF; tp[0].key=-1; nodecount=0; }
void update(int x)
{ tp[x].sz=tp[tp[x].ch[0]].sz+tp[x].count+tp[tp[x].ch[1]].sz; }
void rotate(int &x,int t)
{ int y=tp[x].ch[t]; tp[x].ch[t]=tp[y].ch[!t]; tp[y].ch[!t]=x;
  update(x); update(y); x=y;
}
void insert(int &x,int t)
{   if(! x)
    { x=++nodecount; tp[x].key=t; tp[x].wht=rand(); tp[x].count=1;
      tp[x].ch[0]=tp[x].ch[1]=0;
    }else if(tp[x].key==t) tp[x].count++;
    else
    { int k=tp[x].keytp[x].key) q=select(tp[x].ch[1],k);
    return p+q;
}
int a[N],n,m,ans;
void treeinsert(int l,int r,int i,int x)
{   insert(tree[id(l,r)],x); if(l==r) return; int m=(l+r)>>1;
    if(i<=m) treeinsert(l,m,i,x); if(i>m) treeinsert(m+1,r,i,x);
}
void del(int l,int r,int i,int x)
{   erase(tree[id(l,r)],x); if(l==r) return; int m=(l+r)>>1;
    if(i<=m) del(l,m,i,x); if(i>m) del(m+1,r,i,x);
}
void query(int l,int r,int L,int R,int x)
{   if(L<=l && R>=r){ ans+=select(tree[id(l,r)],x); return; }
    int m=(l+r)>>1; if(L<=m) query(l,m,L,R,x); if(R>m) query(m+1,r,L,R,x);
}
int main()
{   int tt; scanf("%d",&tt);
    while (tt--)
    { scanf("%d%d",&n,&m); init(); memset(tree,0,sizeof(tree));
      for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%d",&a[i]); treeinsert(1,n,i,a[i]); }
      while (m--)
      { char s[5]; int x,y,c; scanf("%s",s);
        if(s[0]=='C')
        { scanf("%d %d",&x,&y); del(1,n,x,a[x]); a[x]=y;
          treeinsert(1,n,x,a[x]);
        }else
        { scanf("%d %d %d",&x,&y,&c); int l=0,r=INF,mid;
          while (l>1; query(1,n,x,y,mid);
            if(ans

按值建树：

#define N 60010
#define M 10010
struct treap{    int key,wht,count,sz,ch[2];	}tp[N*15];
int tree[N<<1];	int nodecount,root;
void init(){ tp[0].sz=0; tp[0].wht=-INF; nodecount=0; root=0;}
void update(int x){tp[x].sz=tp[tp[x].ch[0]].sz+tp[x].count+tp[tp[x].ch[1]].sz;}
void rotate(int &x,int t)
{ int y=tp[x].ch[t]; tp[x].ch[t]=tp[y].ch[!t]; tp[y].ch[!t]=x;
  update(x); update(y); x=y;
}
void insert(int &x,int t)
{   if(! x)
    { x=++nodecount; tp[x].key=t; tp[x].wht=rand();
      tp[x].count=1; tp[x].ch[0]=tp[x].ch[1]=0;
    }else if(tp[x].key==t)  tp[x].count++;
    else
    { int k=tp[x].keyt) return select(tp[x].ch[0],t);
	return tp[x].count+tp[tp[x].ch[0]].sz+select(tp[x].ch[1],t);
}
int a[N],b[N],ord[M][5],lb;	int n,m,tt;
int search(int x)
{ int l=1,r=b[0],mid; 
	while (l<=r)
	{ mid=(l+r)>>1;if(b[mid]==x) return mid;
	  if(b[mid]>1;
	if(i<=m) treeinsert(l,m,i,x); else treeinsert(m+1,r,i,x);
}
void treedel(int l,int r,int i,int x)
{	erase(tree[IDX(l,r)],x); if(l==r) return; int m=(l+r)>>1;
	if(i<=m) treedel(l,m,i,x); else treedel(m+1,r,i,x);
}
int query(int l,int r,int x,int y,int k)
{ if(l==r) return l; int m=(l+r)>>1;
  int ans=select(tree[IDX(l,m)],y)-select(tree[IDX(l,m)],x);
  if(ans>=k) return query(l,m,x,y,k); return query(m+1,r,x,y,k-ans);
}
int main ()
{	scanf("%d",&tt);
	while (tt--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&m); b[0]=1; lb=0;
		memset(tree,0,sizeof(tree)); init();
		for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%d",&a[i]); b[++lb]=a[i]; }
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			char s[5]; int x,y,c; scanf("%s",s);
			if(s[0]=='Q')
			{ scanf("%d %d %d",&x,&y,&c);
			  ord[i][1]=1; ord[i][2]=x; ord[i][3]=y; ord[i][4]=c;
			}else
			{ scanf("%d %d",&x,&y);
			  ord[i][1]=2; ord[i][2]=x; ord[i][3]=y; b[++lb]=y;
			}
		}
		sort(b+1,b+1+lb);
		for(int i=1;i<=lb;i++) if(b[i]!=b[b[0]]) b[++b[0]]=b[i];
		for(int i=1;i<=n;i++){ a[i]=search(a[i]); treeinsert(1,b[0],a[i],i); }
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
if(ord[i][1]==1)printf("%d\n",b[query(1,b[0],ord[i][2]-1,ord[i][3],ord[i][4])]);
			else
			{ treedel(1,b[0],a[ord[i][2]],ord[i][2]);
			  a[ord[i][2]]=search(ord[i][3]);
			  treeinsert(1,b[0],a[ord[i][2]],ord[i][2]);
			}
		}
	}
	return 0;
}