理解柯西序列与完备空间

柯西序列：

在数学中，一个柯西列是指一个这样一个序列，它的元素随着序数的增加而愈发靠近。更确切地说，在去掉有限个元素后，可以使得余下的元素中任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正的常数。可以理解为存在极限

例如：序列：{X1, X2, X3, X4…}，其中X1 = 1, Xn+1 = (Xn + 2 / Xn) / 2。这个序列其实是：{1, 3/2, 17/12 … }。可以证明这个数列最后收敛到一个无理数：根号2。既然它收敛于某个具体的数（根号2），那么当我们去掉有限个数之后，剩下的数都无穷接近于根号2，当然任何两个元素之差不大于任意正数，于是能确定这是柯西序列。

完备空间：
空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。
如果存在某个由有理数组成的序列，收敛到某个无理数，这就是说它在有理数的意义下是不收敛的。这里的空间是指有理数。
例如：上面的序列收敛到一个无理数根号2，根号2不在有理数的空间内，所以有理数在通常定义的距离意义下不是完备的。
注意：只有定义了距离，柯西序列才有意义

理解：
直观上讲，一个空间完备就是指“没有孔”且“不缺皮”，两者都是某种“不缺点”。没有孔是指内部不缺点，不缺皮是指边界上不缺点。