编程基础 - 二叉排序树 (Binary Search Tree)
编程基础 - 二叉排序树 (Binary Search Tree)
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本文将介绍二叉排序树的基础知识，并用C++实现主要方法。
在查看本文之前，需要一些数据结构和程序语言的基础，要对“树”的概念有一些了解。
其中的方法还需要熟悉“栈（stack）”、“队列（queue）”和“递归”。
文章目录
- 编程基础 - 二叉排序树 (Binary Search Tree)
- 1 二叉排序树简述 (Introduction)
- 2 二叉排序树的结构 (Structure)
- 3 二叉排序树的查找 (Search)
- 4 二叉排序树的插入 (Insert)
- 5 二叉排序树的删除 (Remove)
- 6 主函数与测试 (Main Method and Testing)
- 6.1 主函数 (Main Method)
- 6.2 打印结果 (Print Output)
1 二叉排序树简述 (Introduction)
二叉排序树，也称二叉查找树和二叉搜索树，它可以是空树，或同时满足如下条件：
- 每个结点都有一个关键字（Key），做为查找依据；
- 左子树（非空）：所有结点的关键字都小于根结点；
- 右子树（非空）：所有结点的关键字都大于根结点；
- 左子树与右子树：都是二叉排序树；
- 对非空二叉排序树进行中序遍历，可以得到从小到大的顺序排列的关键字顺序。
注意：关键字是否可以重复，需要根据实际需求判断。
之后实例全部使用同一组数据：{ 50, 26, 78, 92, 33, 67, 22, 30, 32 }
50
26
78
22
33
67
92
30
NULL
NULL
32
2 二叉排序树的结构 (Structure)
它的结构和二叉树完全相同：
// 二叉排序树节点
template<typename T>
class BSTreeNode
{
public:
T element; // 数据
BSTreeNode<T>* leftChild; // 左指针
BSTreeNode<T>* rightChild; // 右指针
BSTreeNode(const T& e)
{
element = e;
leftChild = 0;
rightChild = 0;
}
~BSTreeNode()
{
leftChild = 0;
rightChild = 0;
}
};
3 二叉排序树的查找 (Search)
查找从根结点开始，逐层开始进行比较，直到找到目标或没有找到目标。且是一个递归的过程。
具体查找过程：
- （1）如果根结点为空，则查找不成功；
- （2）如果根结点不为空，进行比较：
- 如果等于根结点，查找成功；
- 如果小于根结点，则查找根结点的左子树；
- 如果大于根结点，则查找根结点的右子树；
- （3）查找成功时，指针将停留在结点；
- （4）查找不成功时，指针将为空。
下图展示了，查找36（蓝色），查找67（红色）的过程：
50
26
78
22
33
67
92
30
NULL
NULL
32
C++代码：
// Author: https://blog.csdn.net/DarkRabbit
// Binary Search Tree
// BSTree查找
// params:
// root: 根结点
// val: 待查找的值
// find: 找到的结点
// findParent: 寻找过程的上一个结点
// return:
// bool: 查找是否成功
template<typename T>
bool BSTreeFind(BSTreeNode<T>* root, const T& val, BSTreeNode<T>*& find, BSTreeNode<T>*& findParent)
{
if (root == 0)
{
return false;
}
find = root;
findParent = 0;
while (find != 0 && find->element != val) // 如果找到或未找到，退出循环
{
findParent = find;
if (val < find->element) // 如果小于结点
{
find = find->leftChild; // 则查找结点的左子树
}
else // 如果大于结点
{
find = find->rightChild; // 则查找结点的右子树
}
}
return find != 0; // 返回是否找到
}
4 二叉排序树的插入 (Insert)
假设现在的需求不允许重复关键字。
插入过程要先进行查找：
- 如果找到结点，插入失败；
- 如果没有找到结点，则插入。
// Author: https://blog.csdn.net/DarkRabbit
// Binary Search Tree
// BSTree插入（不可有重复Key）
// params:
// root: 根结点
// val: 待插入的值
// return:
// bool: 插入是否成功（即，树中是否已存在此值，如果存在返回false）
template<typename T>
bool BSTreeInsert(BSTreeNode<T>*& root, const T& val)
{
if (root == 0) // 如果空树
{
root = new BSTreeNode<T>(val); // 创建根结点
return true;
}
BSTreeNode<T>* find = 0;
BSTreeNode<T>* findParent = 0;
if (!BSTreeFind(root, val, find, findParent)) // 如果没有找到
{
find = new BSTreeNode<T>(val); // 创建结点
if (find->element > findParent->element)
{
findParent->rightChild = find; // 加入右子树
}
else
{
findParent->leftChild = find; // 加入左子树
}
return true;
}
return false; // 值已存在
}
5 二叉排序树的删除 (Remove)
在二叉排序树删除结点时，必须将因删除而断开的结点重新链接，这样才能保证二叉排序树的完整性。
在重新链接时，要额外注意链接位置；一般情况下，为了防止降低性能：
- 被删除结点的右子树为空时，用它的左子树代替它；
- 被删除结点的左子树为空时，用它的右子树代替它；
- 被删除结点的左、右子树都不为空时，用它的右子树中序遍历的第一个结点顶替它（或用它的左子树中序遍历的最后一个结点）
// Author: https://blog.csdn.net/DarkRabbit
// Binary Search Tree
// BSTree删除
// params:
// root: 根结点
// val: 待插入的值
// return:
// bool: 删除是否成功
template<typename T>
bool BSTreeDelete(BSTreeNode<T>*& root, const T& val)
{
if (root == 0)
{
return false; // 树为空树
}
BSTreeNode<T>* find = 0;
BSTreeNode<T>* findParent = 0;
if (!BSTreeFind(root, val, find, findParent))
{
return false; // 没有找到结点
}
BSTreeNode<T>* linkedNode = 0;
if (find->leftChild == 0) // 左子树空
{
linkedNode = find->rightChild; // 链接右子树
find->rightChild = 0;
}
else if (find->rightChild == 0) // 右子树空
{
linkedNode = find->leftChild; // 链接左子树
find->leftChild = 0;
}
else // 左右都不空，链接右子树中序遍历第一个结点
{
BSTreeNode<T>* tmpParent = 0; // 临时变量，父结点
linkedNode = find->rightChild;
while (linkedNode->leftChild != 0) // 中序遍历第一个结点
{
tmpParent = linkedNode;
linkedNode = linkedNode->leftChild;
}
linkedNode->leftChild = find->leftChild; // 顶替，链接左子树
// 如果 tmpParent 为空，则说明 linkedNode 就是 find->rightChild
// 不为空，则说明中间还有结点，需要断开 linkedNode 的右子树，并链接它们
if (tmpParent != 0 && linkedNode->rightChild != 0)
{
tmpParent->leftChild = linkedNode->rightChild; // 重新链接断开点
linkedNode->rightChild = find->rightChild; // 顶替，链接右子树
}
find->leftChild = 0;
find->rightChild = 0;
}
if (findParent != 0) // 如果删除的不是根结点
{
// 链接它们
if (findParent->leftChild == find)
{
findParent->leftChild = linkedNode;
}
else
{
findParent->rightChild = linkedNode;
}
}
delete find; // 销毁 find
return true;
}
举例说明，我们删除一个数字26，用它右子树中序第一个结点30替代它：
-
断开33与30，30与32的链接，并将33和32链接；
-
断开26与22，26与33的链接，链接30与22，30与33；
-
链接50与30。
50
26
22
33
78
67
92
30
NULL
NULL
32
- 图 - 初始位置
断开中序第一个结点
使用30顶替26
下一步链接
断开
断开
33
30
NULL
NULL
32
30
22
33
32
NULL
- 图 - 重新链接30断开的子树
50
30
22
33
78
67
92
32
NULL
- 图 - 删除26之后，使用30顶替它的位置
6 主函数与测试 (Main Method and Testing)
6.1 主函数 (Main Method)
// Author: https://blog.csdn.net/DarkRabbit
// Binary Search Tree
#include "binary_search_tree.h"
#include 6.2 打印结果 (Print Output)
二叉排序树：插入顺序 { 50, 26, 78, 92, 33, 67, 22, 30, 32 }
中序遍历：22 26 30 32 33 50 67 78 92
删除 26
中序遍历：22 30 32 33 50 67 78 92
删除 33
中序遍历：22 30 32 50 67 78 92
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