复数的物理意义

      最近做相关滤波追踪的时候，遇到了瓶颈，所以想从头到尾理一理基础知识。

本文参考链接：

https://www.zhihu.com/question/23234701/answer/26017000

https://zhuanlan.zhihu.com/wille/19763358

http://blog.sina.com.cn/s/blog_5dfd405d0101iyq7.html

http://blog.163.com/lipan465@126/blog/static/44064920201151610280158/

https://betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/

http://blog.csdn.net/xitong2012/article/details/40834745

      对于复数，最直观的理解，就是旋转！乘以虚数 i , 就是旋转。虚数不是数，而是旋转量！

      我们知道， i 的平方是 -1, 那么2 * i * i  = -2，相当于在数轴上将 2 旋转了 180度。也就是说，旋转了两个 i 是180度。那么，旋转一个 i 呢？显然就是 90度了。也就是说，通过旋转，我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴和虚数轴共同构成了一个复数的平面，也称为复平面。

        

      函数 exp(t) 的图像大家都能想象的出来。那么，如果是 e 的 it 次方呢？乘以 i 了是怎么旋转的呢？图像如下（注意：垂直往上的轴是时间轴）：

      

      其中，螺旋线怎么形成的呢？看下图：

      现在，就要引出欧拉公式了：

      

其中，当 x = pi 时，

      

欧拉公司的关键作用，就是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们再来看上面的图，欧拉公式所描绘的，是一个随时间变化，在复平面上做圆周运动的点。随着时间的改变，在时间轴上就变成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线左侧的投影，就是基础的余弦函数。而右侧的投影，就是一个正弦函数。

https://betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/ 讲的更透彻。

既然 i 表示旋转量，我们就可以用 i ，表示任何实数的旋转状态。

将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。

只要确定横坐标和纵坐标，比如( 1 , i )，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。

数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫做复数（complex number），其中 1 称为实数部，i 称为虚数部。

为什么要把二维坐标表示成这样呢，下一节告诉你原因。

三、虚数的作用：加法
虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。

比如，物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？

根据"平行四边形法则"，你马上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。
这就是虚数加法的物理意义。

四、虚数的作用：乘法
如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。
比如，一条船的航向是 3 + 4i 。
如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？

5度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：

( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )

所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。
如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于：

 ( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )

这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。

五、虚数乘法的数学证明
为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？
下面就是它的数学证明，实际上很简单。

任何复数 a + bi，都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。
假定现有两个复数 a + bi 和 c + di，可以将它们改写如下：

　a + bi = r1 * ( cosα + isinα )
c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )

这两个复数相乘，( a + bi )( c + di ) 就相当于

r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )

展开后面的乘式，得到

cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )

根据三角函数公式，上面的式子就等于

cos(α+β) + isin(α+β)

所以，

( a + bi )( c + di )　＝　r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )
就到这里，更深入的请参考高等数学及
http://betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/