振动与冲击

频率响应分析主要用于计算结构在周期振荡载荷作用下对每一个计算频率的动响应。计算结果分实部和虚部两部分。 实部代表响应的幅度, 虚部代表响应的相角

最近，与一些工程测试人员沟通交流时，谈到一个问题，为什么不用频响函数的实部和虚部来确定模态参数，而用的是幅值和相位？就这涉及到一个问题：我们什么时候用实部虚部，什么时候用幅值和相位。

通常，振动噪声信号是由一个或多个正弦信号叠加而成，因而，这些正弦信号可以由他们的幅值（模）和相位来描述。这些振动和噪声信号可以通过频谱转换成实部与虚部或幅值与相位来描述。幅值与相位与实部与虚部是直接相关的。实部与虚部是一个复数的一种表达形式，幅值与相位是另一种表现形式。

一个正弦振动有幅值大小，这个幅值表征的是上下往复运动的幅度。信号的相位是表征这个正弦信号相对于相同频率的参考信号延迟了多少（用角度表示）。这一点非常重要，相位只是一个相对量，假设相对于参考信号。

比方说，一根简单的自由-自由梁一端受到某种形式的正弦激励在，同时位于两端部的加速度传感器测量响应。当激励和响应位置，二者的相位相同时，梁的两端部将同相运动，如图1和2所示。

图1

图2

但是当二者的相位不相同时，梁的两端将发生摆动，如图3和4所示。

图3

图4

现在，回到最初的问题，特别是关于实部和虚部：

一个复数的实部和虚部定义了一条从原点（0，0）出发的二维直线端部位置，这二维指的是水平方向（实部）和垂直方向（虚部）的维度，如图5所示。这样的形式称为直角坐标的复数形式。

图5 直角坐标的实部和虚部

实部和虚部也可以用一对模（幅值）和相位来表示，这就是极坐标的复数形式，如图6所示。这种形式下，模是距原点的距离，相位是与水平轴的夹角。

图6 极坐标的模和相位

本质上这是同一数据的两种不同表现形式。图7和图8展示了一个频谱，图7是直角坐标的复数形式，图8是这个频谱的极坐标形式。

图7 直角坐标的实部和虚部

时域信号的快速傅立叶变换（FFT）的输出结果是复数形式的频谱（实部和虚部）。然而，人们对复数形式的频谱更易理解和更常见的是用幅值（模）和相位的显示形式，如图8所示。

图8 极坐标数据的幅值和相位

    同一个复数形式的频谱还可以用之前两种方式之外的方式来表示：要么实部频谱对虚部频谱，要么幅值谱对相位谱。这类绘图形式，就是众所周知的奈奎斯特图，如图9所示。同时在一张图中显示了幅值（模）和相位（角度）信息。

图9 幅值和相位用作奈奎斯特图

奈奎斯特图中每一点表示特定频率下的复数振幅。通常显示的是一些频响函数，它描述的是特定点的响应的幅值和相位是如何随频率变化的。

关于用奈奎斯特图显示FRF，在这里要多说更详细一点。图10显示的是某频响函数的幅值谱和相位。在这个图中有6个共振峰（6阶模态），对应的固有频率如图中表格所示。将该条频响函数用奈奎斯特图（实部和虚部）表示，如图11所示。奈奎斯特图中每一个圆表征一阶模态。在图11中有6个圆（上面3个，下面3个），对应于图10中的6阶模态。圆的大小对应图10中FRF共振峰的幅值。也就是说，最大的圆对应的是300Hz这一阶，图10中共振峰的幅值大小顺序对应于图11中圆的大小。并且，当光标位于共振频率处时，奈奎斯特图中的虚部是最大。

图10 频响函数

图11 图10中频响函数对应的奈奎斯特图（用实部和虚部表示）

如果一个弹性结构受到一个正弦输入激励力，那么通常任何位置的时域响应信号将不会与激励信号同相位，如图12所示。

图12 激励和响应之间有相位延迟

    从激励和响应的时域历程可以清楚地看出二者之间有相位延迟，这是因为二者的时移会引起相移。从数学上来说，在单个频率f_n下的响应R_n可以表示如下

从0到奈奎斯频率（采样率的一半），所有频率处的频率响应都可以通过幅值谱A_n和相位谱φ_n来表示。

通常，在振动噪声工作领域，我们使用幅值和相位来描述数据。因此，什么特定的情况使用实部和虚部呢？一个很好的例子是模态分析。当频响函数FRF用实部对虚部绘制成奈奎斯特图时，模态的共振频率通常对应的奈奎斯特图是圆形的，或者用幅值谱的形式能清晰的定义共振峰。然而，一些情况下，当两个或更多个共振频率非常接近时，可能两个峰会合并成一个单峰，因而给出的结果是好像是只有一个模态频率，而实际上有多个共振频率。而通过奈奎斯特图表示的FRF经常更易于识别出额外的模态。

依据我们的经验，幅值和相位形式的显示迄今使用得最广泛，并且经常不显示相位。因而，一些用实部对虚部类型的显示情况，如果用幅值和相位形式来显示，可能一些现象就看不出来。

再回到我们开头所提出来的那个问题，为什么不用实部和虚部来确定模态参数？让我们回顾一下阻尼对频响函数的影响。增加阻尼会使得共振频率略有减少，但是它的主要作用是减小频响函数在共振点的幅值，同时使得相位的改变较为平缓。如果阻尼为零，在共振点振动幅度将趋向无穷大，相位会突变180度，而且系统的极点将成为纯虚数，其大小等于无阻尼固有频率，阻尼对频响函数的影响如图13所示。因此，阻尼的增加对结构的固有频率改变不明显，也说是说有阻尼结构的固有频率和对应的无阻尼的固有频率差不多相同。相对应的就是复模态的固有频率和实模态的固有频率应该相同。

图13 阻尼对频响函数的影响

    实模态的固有频率和复模态的固有频率应该相等，因此，二者的FRF应该重合。但是FRF的不同表现形式中，只有幅值谱是重合的，实部和虚部不重合，有偏移，如图14所示。如果这时用实部或虚部进行模态参数提取，就会出现频率提取不准确，而用幅值谱，则不存在这样的问题。因此，模态参数提取时用的是频响函数的幅值谱。

（a）幅值

（b）实部                                                                  （c）虚部

图14 实模态和复模态频响函数对比