C语言回顾【经典|八皇后问题】

八皇后问题

八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。 高斯认为有76种方案。1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。计算机发明后，有多种计算机语言可以解决此问题。

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问题条件：任两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。

八皇后问题可以推广为更一般的n皇后摆放问题：这时棋盘的大小变为n1×n1，而皇后个数也变成n2。而且仅当 n2 = 1 或 n1 ≥ 4 时问题有解

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解决基本思想：递归

程序基本模块：

1. 判断模块conflict()：用来判断准备下放的皇后与已经放置在棋盘上的皇后是否有冲突
2. 递归模块queens()：为准备下放的皇后遍历位置，若有符合位置（与之前皇后没冲突），则将皇后暂放该位置，并进入下一个递归。
3. 主函数main()：没什么好说的

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 模块实现：

    1、判断模块conflict()：

• 假定棋盘坐标系如图：
• 设图上标注的红色块坐标为（x0,y0），可知两条对角线的直线方程可写作：y-y0=+-(x-x0)
• 再设：下一个要放的皇后坐标为(nextx,nexty)，则由条件可知，(nextx,nexty)不在上述直线中
• 现在讨论行、列冲突问题：
• 行：假定我们一行一行地放置皇后，则下一行必定比上一行数大，因此不存在行的问题
• 列：很简单：nextx！=x0即可，即为（nextx-x0）！=0
• 代码如下：

  int conflict(int* state, int nextx, int nexty)
  {//判断准备放下的后是否与之前的后有冲突
  	//state是储存之前皇后的位置数组，
  	//nextx，nexty分别代表准备放下皇后的列和行
  	//判断的条件：不同列，即（state[i] - nextx）！=0
  	//不同行：由于nexty必定大于已有的行数，则必定不同行
  	//不在对角线上，先写出已知(x0,y0)的对角线方程：
  	//y-y0=+-(x-x0);  即(nextx,nexty)不在直线上
  	//综上，条件如下：
  	for (int i = 0; i < nexty; i++){
  		if ((abs(state[i] - nextx) == (nexty - i)) || \
  			(abs(state[i] - nextx) == 0))
  			return 1;
  	}
  	return 0;
  }

   

    2、递归模块 queens()：

• 参数说明：num表示总共的皇后数，len表示已经放下的皇后数，state数组是储存已经放下的皇后位置
• 先从最后一个皇后说起：准备下方最后一个皇后时，要执行的很明确，就是遍历位置，并判断有没有冲突，没有冲突，表示所有皇后的位置已经确定，输出state数组中存储的皇后位置，返回1，以供上层迭代判断，这里比较重要。
• 若有冲突，表示前面有皇后下错了，需要return出去，重设前面有错的皇后的位置
• 这部分代码如下：参数说明：

  	if (num - len == 1){//判断是否到最后一个皇后，是则：
  		for (int position = 0; position < num; position++){
  			//遍历位置
  			if (!conflict(state, position, len)){//判断是否有冲突
  				state[len] = position;//没有冲突，记录位置到state
  				printf("当前state:");
  				for (int i = 0; i <= len; i++){
  					printf("%d", state[i]);//输出
  				}
  				printf("\n");
  				return 1;
  			}
  		}	
  		return 0;
  	}

   

• 那如果准备下放的不是最后一个皇后呢？
• 同样的，这个皇后也需要遍历位置，如果没有冲突，则暂时将这个皇后下放，并记录位置到state
• 重点是：进入下一次迭代，即再次调用queens（）模块，并判断其返回的值（与上文conflict部分相呼应），但是这次传入的参数：状态数组state已经是添加了上一个皇后的state，总皇后数num不变，但是已经下放的皇后数len+1。
• 现在我们假定，在上一点中进入的下一次迭代，有冲突，返回了0，则我们又跳回到本层来。这表明本层皇后的位置虽然不冲突，但是是错的，需要再次改变位置，即position+1，再次利用conflict（）判断有没有冲突。这一部分，可以用continue解决掉（因为前面已经有相应代码和for循环）
• 这部分的确难理解，但是，程序到这里，基本就完了。
• 最好的理解办法还是：下断点，一步一步看。
• 这部分代码如下：

  int queens(int num, int*state,int len)
  {
  	if (num - len == 1){//判断是否到最后一个皇后，是则：
  		for (int position = 0; position < num; position++){
  			//遍历位置
  			if (!conflict(state, position, len)){//判断是否有冲突
  				state[len] = position;//没有冲突，记录位置到state
  				printf("当前state:");
  				for (int i = 0; i <= len; i++){
  					printf("%d", state[i]);//输出
  				}
  				printf("\n");
  				return 1;
  			}
  		}	
  		return 0;
  	}
  	else{//不是最后一个皇后则：
  		for (int position = 0; position < num; position++){
  			//遍历位置
  			if (!conflict(state, position, len)){
  				//判断是否有冲突，没有冲突则：
  				//记录新皇后位置到state
  				state[len] = position;
  				if (queens(num, state, len + 1)){
  				//进入下次递归，并判断返回值
  				}
  				else{
  				//如果下个皇后遍历全部位置都有冲突，返回到本层
  				//将本层的皇后位置+1，即继续遍历本层
  					continue;
  				}
  			}
  			else
  				//若本层当前位置有冲突，则继续遍历
  				continue;
  		}
  		return 0;
  	}
  }

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全部代码：

1. 理解版：

   #include
   #include
   int conflict(int* state, int nextx, int nexty)
   {//判断准备放下的后是否与之前的后有冲突
   	//state是储存之前皇后的位置数组，
   	//nextx，nexty分别代表准备放下皇后的列和行
   	//判断的条件：不同列，即（state[i] - nextx）！=0
   	//不同行：由于nexty必定大于已有的行数，则必定不同行
   	//不在对角线上，先写出已知(x0,y0)的对角线方程：
   	//y-y0=+-(x-x0);  即(nextx,nexty)不在直线上
   	//综上，条件如下：
   	for (int i = 0; i < nexty; i++){
   		if ((abs(state[i] - nextx) == (nexty - i)) || \
   			(abs(state[i] - nextx) == 0))
   			return 1;
   	}
   	return 0;
   }
   int queens(int num, int*state,int len)
   {
   	if (num - len == 1){//判断是否到最后一个皇后，是则：
   		for (int position = 0; position < num; position++){
   			//遍历位置
   			if (!conflict(state, position, len)){//判断是否有冲突
   				state[len] = position;//没有冲突，记录位置到state
   				printf("当前state:");
   				for (int i = 0; i <= len; i++){
   					printf("%d", state[i]);//输出
   				}
   				printf("\n");
   				return 1;
   			}
   		}	
   		return 0;
   	}
   	else{//不是最后一个皇后则：
   		for (int position = 0; position < num; position++){
   			//遍历位置
   			if (!conflict(state, position, len)){
   				//判断是否有冲突，没有冲突则：
   				//记录新皇后位置到state
   				state[len] = position;
   				if (queens(num, state, len + 1)){
   				//进入下次递归，并判断返回值
   				}
   				else{
   				//如果下个皇后遍历全部位置都有冲突，返回到本层
   				//将本层的皇后位置+1，即继续遍历本层
   					continue;
   				}
   			}
   			else
   				//若本层当前位置有冲突，则继续遍历
   				continue;
   		}
   		return 0;
   	}
   }
   void main()
   {
   	int *state[8];
   	queens(8, state, 0);
   	system("pause");
   }
   

   2.精简版：

   #include
   #include
   int conflict(int *state,int nextx,int nexty)
   {                                                                               
       for(int i=0;i

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   运行结果：四个皇后：    八个皇后：