异方差性质

残差序列的异方差性

异方差的影响

使用ARIMA模型拟合非平稳序列时，对残差序序列有一个重要假定——残差序列为零均值白噪声序列。换言之，残差序列要满足如下三个假定条件。
（1）零均值
（2）纯随机
（3）方差齐性
如果方差齐性假定不成立，即随机误差的方差不在是常数，它会随时间的变化而变化，可以表示为时间的某个常数。这种情况称为异方差。
在残差序列的三个假定条件中，零均值假定最容易实现，只要对序列中心化处理就行了，这个假定通常无需检验。
纯随机假定一直是我们重点监控的对象，如果这个假定不满足，就说明残差中蕴涵值得提取的自相关系数。为了检验这个假设条件是否成立，统计学家构造了许多适用于不同场合的自相关统计计量。比如前面介绍的Q统计量，LB统计量，DW统计量。
只有第三个假定——方差齐性假定，在我们之前我们没有做任何检验，在缺省条件一直认为默认残差序列满足个条件。但是在实际中，这个假定条件并不总是满足的，忽视异方差的存在会导致残差的方差被严重低估，继而参数检验容易犯伪错误，这使得参数的显著性检验失去意义，最终导致模型的拟合精度受影响。为了提高模型的拟合的精度，需要对残差序列进行方差齐性检验，并对异方差序列深入分析。

异方差的直观诊断

1.残差图

2.残差平方和
由于残差序列的方差实际上就是它平方的期望，所以残差序列是否方差奇性，主要是考察它残差的平方的期望。我们可以借助残差平方图对残差序列的方差齐性进行直观诊断。
这意味残差的平方的期望在某个常数值附近随机波动，它不应该具有任何明显的趋势，否则出现异方差性。
直观考察美国1963年4月至1971年7月短期国库券的月度收益率序列的方差齐性。

#读入数据，并绘制时序图
h<-read.table("D:/R-TT/book4/4R/data/file21.csv",sep=",",header = T)
x<-ts(h$yield_rate,start = c(1963,4),frequency = 12)
plot(x)

短期国库券的月度收益
作一阶差分，并绘制差分后残差序列时序图

#作1阶差分，并绘制出差分后残差序列时序图
x.dif<-diff(x)
plot(x.dif)

一阶差分残差时序图

#绘制1阶差分后残差平方图
plot(x.dif^2)

1阶差分后残差平方图
时序图显示序列显著非平稳，1阶差分后序列显示出均值平稳但方差递增的性质，进一步观察1阶差分后残差平方图，可以发现它更加明显的地呈现出异方差的特征。
当残差序列异方差时，我们需要对它进行进一步的处理，处理有两种思路：
（1）假如已知异方差函数具体形式，进行方差齐性变换。
（2）假如不知异方差函数的具体形式，拟合条件异方差模型。
####方差齐性变换
1.使用场合

2.转换函数的确定


对美国1963年4月至1971年7月短期国库券的月度收益率序列使用方差齐性变换方法进行对比分析。

#作对数变换，并绘制对数变换后时序图
lnx<-log(x)
plot(lnx)

短期国库券月度收益率对数序列时序图

#作1阶差分，并绘制出差分后序列时序图
dif.lnx<-diff(lnx)
plot(dif.lnx)

对数序列一阶差分后序列时序图

#残差白噪声检验
for(i in 1:2) print(Box.test(dif.lnx,lag=6*i))
Box-Pierce test

data:  dif.lnx
X-squared = 3.4118, df = 6, p-value = 0.7557


    Box-Pierce test

data:  dif.lnx
X-squared = 9.8323, df = 12, p-value = 0.6307

白噪声显示该序列可视为白噪声序列，通过方差齐性变化，拟合效果不错。