线性代数-向量

A.1 向量

A.1.1 定义

向量是一个具有量值和方向的量。

A.1.2 向量加法和向量与标量乘法

线性代数-向量_第1张图片
加法满足:交换律、结合律、零加性、加法逆元
标量乘法满足:结合率、分配律、单位元

A.1.3 向量空间

向量空间是向量的集合,连同一个相关联的标量集,满足加法和标量乘法性质,并且关于向量加法和标量乘法都是封闭的。
向量空间中的任何向量都可以用一组称作基向量的向量的线性组合来表示。
基向量生成了该向量空间,向量空间的维是形成基所需要的最少向量数。
基向量通常都是正交的。

A.1.4 点积、正交性和正交投影

在这里插入图片描述
两个向量正交:向量点积为0、空间内垂直
范数:向量的长度
正交投影:
线性代数-向量_第2张图片
线性独立性:如果一个向量集中的每一个向量都不能表示成该集合中其他向量的线性组合,则该集合是线性独立的。

A.1.5 向量与数据分析

将数据集刻画成向量的形式,比如将鸢尾花数据集每种花看作一个4维向量,而每个属性可以看作一个150维的向量;再比如文档可以用向量表示,其中每个分量对应一个词,而每个分量是值是该术语在文档中出现的次数。
通过将数据集刻画成向量的形式,就可以通过向量的运算来实现数据集的分析。比如通过计算两个向量的余弦相似性来表示文档的相似性:
在这里插入图片描述
再比如对于鸢尾花数据集,利用两个向量点之间的距离更加合适:
在这里插入图片描述

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