【NOIP2016提高A组集训第14场11.12】最近公共祖先

Description

YJC最近在学习树的有关知识。今天，他遇到了这么一个概念：最近公共祖先。对于有根树T的两个结点u、v，最近公共祖先LCA(T,u,v)表示一个结点x，满足x是u、v的祖先且x的深度尽可能大。YJC很聪明，他很快就学会了如何求最近公共祖先。他现在想寻找最近公共祖先有什么性质，于是他提出了这样的一个问题：n层的满k叉树T，求对于每一对(i,j)(1≤i,j≤T的点数)，LCA(T,i,j)的深度的和是多少。这个数字n层的满k叉树指一棵带标号的有根树，深度为i(0≤i

Solution

这道题一看到就开始推 O(n) 怎么做。
考虑点对的lca贡献为i的点对数= ki∗(size[n−i+1]2−k∗size[n−i]2) ，因为这层一共有 ki 个节点，然后单个节点的里面所有节点先两两匹配，然后还要减去他们k个儿子额两两匹配。

然后答案= ∑n−1i=0i∗ki∗(size[n−i+1]2−k∗size[n−i]2)
因为size是节点个数，可以用等比数列来求出来： size[i]=1+k+k2+......+ki=ki+1−1k−1
那么带入上面的式子就可以变成 ∑n−1i=0i∗(k2n−i+1−ki)k−1
然后答案= 1k−1∗(∑n−1i=0i∗k2n−i+1−∑n−1i=0i∗ki)
= 1k−1∗(k2n+1∗∑n−1i=0i∑n−1i=0i∗ki−∑n−1i=0i∗ki)

现在我们的主要问题就是 ∑n−1i=0i∗ki=??????
我们的目的只是要把 i 和 ki 分离出来。
那么考虑给每个 ki 都补上一个系数 n ，那么上式就变成 n∗∑n−1i=0ki−∑ni=1∑i−1j=0kj

那么把这个代入上式，那么答案就变成：
1k−1∗(k2n+1∗(n−1)∗nn∗∑n−1i=0ki−∑ni=1∑i−1j=0kj−n∗∑n−1i=0ki+∑ni=1∑i−1j=0kj

然后再把等比数列求和套进去：
答案就可以化简成：
k2n−k−(2n−1)kn(k−1)(k−1)3

Code

#include
#include
#include
#include
#include
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fod(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn=1000007,mo=998244353;
ll i,j,k,l,t,n,m,ans,yi,er;
ll ci[maxn],size[maxn];
ll qsm(ll x,ll y){
    ll z=1;
    for(;y;y/=2,x=x*x%mo)if(y&1)z=z*x%mo;
    return z;
}
int main(){
    freopen("lca.in","r",stdin);
    freopen("lca.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    ans=(qsm(k,2*n)-k-(2*n-1)*qsm(k,n)%mo*(k-1)%mo)%mo;
    ans=(ans+mo)%mo;
    t=qsm(k-1,3);
    ans=ans*qsm(t,mo-2)%mo;
    printf("%lld\n",ans);
}