蒟蒻刷水题(1) --- 完全数(数论)
什么是完全数?
完全数(Perfect number), 又称完美数或完备数, 是一些特殊的自然数。它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和,
恰好等于它本身。如果一个数恰好等于它的因子之和, 则称该数为“完全数”。以上来自百度百科.
完全数的定义理解起来并不难. 让我们试着做一两道题吧.
一、HDU 1406 完数
Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)
Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 34021
Accepted Submission(s): 12772
Problem Description
完数的定义：如果一个大于1的正整数的所有因子之和等于它的本身，则称这个数是完数，比如6，28都是完数：6=1+2+3；
28=1+2+4+7+14。
本题的任务是判断两个正整数之间完数的个数。Input
输入数据包含多行，第一行是一个正整数n，表示测试实例的个数，然后就是n个测试实例，每个实例占一行，由两个正整数
num1和num2组成,(1Output
对于每组测试数据，请输出num1和num2之间（包括num1和num2）存在的完数个数。Sample Input
2
2 5
5 7Sample Output
0
1题目解析
1. 多次访问[num1, num2]之间的数有多少个完全数, 所以一开始应该先求出2 ~ 9999的完全数.
2. 范围: 1 < num1, num2 < 10000, 而num1不一定小于num2, 计算数量时需注意num1, num2的大小.首先解决最简单的输入输出.
#include 现在考虑如何求解2 ~ N 的完全数:
对于一个数 m≥2 m ≥ 2 , 若有两因子 p,q(p≤q) p , q ( p ≤ q ) , 使 m=p∗q m = p ∗ q , 那么必然有:
m=p∙q≥p2 m = p ∙ q ≥ p 2
∴p≤m−−√ ∴ p ≤ m
因此, 当m的因子 p<m−−√ p < m 时, 表示 p,m/p p , m / p 为 m m 其中两个因子, 当m的因子 p=m−−√ p = m 时, 表示 p p 为 m m 的因子.
所以, 可以写一个暴力算法求解任意正整数是否为完全数:
//判断N是否为完全数
bool isPerfect(int N) {
if (N == 1) return false; //1不是完全数
int i;
int s = 1; //存储因子和, 初始值为1(N > 1时, 1为该数的因子)
for (i = 2; i * i < N; ++i)
if (N % i == 0) //若i < sqrt(N)且i | N, 那么i, N / i为N的因子
s += i + N / i;
if (i * i == N) s += i; //若i = sqrt(N)且i | N, 那么i为N的因子
return s == N; //当且仅当因子和等于N时, N为完全数
}
//求2 ~ N的完全数的函数
void solve(int N) {
num = 0;
for (int i = 2; i <= N; ++i)
if (isPerfect(i)) perfect[num++] = i; //当i为完全数, 存储进perfect[]里
} isPerfect() i s P e r f e c t ( ) 判断 N N 是否为完全数, 变量 i i 从 2 2 遍历至 N−−√ N , 所以它的时间复杂度为: O(N−−√) O ( N )
由于要判断 2 N 2 N 共 N−1 N − 1 个数是否为完全数, 每次判断需要 O(N−−√ O ( N )的时间. 因此总的时间复杂度为: O(NN−−√) O ( N N )
HDU1406的 N N 的范围不大, 还能接受.
若N为 1018 10 18 , 即使电脑每秒能处理 1014 10 14 的运算量, 求出 1018 10 18 内的所有完全数至少也需要30万年……所以, 必须得想一个更为高效的算法.
古希腊数学家欧几里得在名著《几何原本》中论述完全数时提出：
如果 2p−1 2 p − 1 是素数, 则 2p−1∙(2p−1) 2 p − 1 ∙ ( 2 p − 1 ) 是完全数.
最终, 欧拉证明欧几里得的公式可以给出所有的偶完全数, 即:
如果n是偶完全数, 则n为 n=2p−1∙(2p−1) n = 2 p − 1 ∙ ( 2 p − 1 ) 的形式,
其中 2p−1 2 p − 1 为梅森素数(梅森素数, 是指形如 2p−1 2 p − 1 的素数, 其中指数p也是素数).
也就是说, 只要 2p−1 2 p − 1 为梅森素数, 那么 2p−1∙(2p−1) 2 p − 1 ∙ ( 2 p − 1 ) 必然是偶完全数. 剩下的问题就是判断p为素数时 2p−1 2 p − 1 是否为梅森素数了.
判断一个数是否是素数有很多种方法, 如试除法(时间复杂度为: O(N−−√) O ( N ) ), 拉宾-米勒素性检验(时间复杂度为: O(k∙logN) O ( k ∙ l o g N ) , k k 为试验次数, 通过一次测试后, n为合数的概率少于 1/4 1 / 4 ), 然而试除法太慢了, 拉宾-米勒素性检验算法是挺高效的, 然而它是通过概率去判断该素数是否为素数, 有没有更好的方法呢？
对于形如 2p−1 2 p − 1 梅森数, 我们可以通过一种高效且确定的算法:
卢卡斯-莱默检验法(Lucas–Lehmer primality test).
利用卢卡斯-莱默检验法可以得到下面的算法: (只要N在long long范围都能算出答案)
long long perfect[8]; //存储完全数
int num; //存储完全数的个数
//试除法判断小整数p是否为素数
bool isPrime(int N) {
if (N < 4) return N > 1;
if (!(N & 1)) return false;
for (int i = 3; i * i <= N; i += 2)
if (!(N % i)) return false;
return true;
}
//Lucas–Lehmer primality test
bool primality(int N, long long M) {
if (N == 2) return true; //Lucas–Lehmer只能判断N>2的情况, 而N为2时2^2-1确实为梅森素数
long long s = 4;
for (int i = 0; i < N - 2; ++i)
s = (s * s - 2) % M;
return s == 0; //N>2时, 当且仅当s为0, 该梅森数为素数
}
//求2 ~ N的完全数的函数
void solve(long long N) {
num = 0;
for (int i = 2; i < 32; ++i) {
long long M = (1ll << i) - 1; //梅森数: 2^p-1
long long t = M << (i - 1); //2^(p-1)*(2^p-1)
if (t > N) break; //t超过N的范围, 停止计算
//当p为素数且梅森数2^p-1为素数时2^(p-1)*(2^p-1)为完全数
if (isPrime(i) && primality(i, M))
perfect[num++] = t; //储存完全数t
}
}该算法的时间复杂度如何呢?
首先, 每个 N=2p−1 N = 2 p − 1 需要判断p是否为素数(时间复杂度为 O(p–√) O ( p ) ), 若 p p 为素数, 再判断 2p−1 2 p − 1 是否为梅森素数(时间复杂度为 O(p) O ( p ) ). 对于每个数N时间复杂度为 O(p) O ( p ) 即 O(logN) O ( l o g N ) , 所以对于求解2 ~ N的完全数, 该算法的复杂度为 O((logN)2) O ( ( l o g N ) 2 ) . 因此, 该算法能快速得到答案, 即使N为 1018 10 18 .