卫星轨道总结

闲来无事，翻了翻卫星轨道推导，总结下。

首先，列出几个重要的等式，轨道表达式，能量守恒与动量守恒。
简单设定卫星质量为单位质量m=1，中心天体质量为 $M$，卫星轨道在一个在一个平面上，轨道曲线可以表示为：
$$r(t)=\rho (\theta (t))\cos (\theta (t))e_1+\rho (\theta (t))\sin (\theta (t))e_2(1)$$
$e_1,e_2$是两个相互正交的单位向量，轨道方程可以简记为：
$$r=\rho \cos (\theta )e_1+\rho \sin (\theta )e_2$$
则其速度可以表示如下：
$$v=\dot{r}=dr/dt=[\dot{\rho }\cos (\theta )-\rho \sin (\theta ))]\dot{\theta }{e}_1+[\dot{\rho }\sin (\theta )+\rho \cos (\theta )]\dot{\theta }{e}_2(2)$$
根据机械能守恒可以得到（$E$代表总机械能密度，即单位卫星质量的机械能，取无穷远处重力势能为零)：
$$E=0.5\dot{r}\cdot \dot{r}-\frac{GM}{\rho }=0.5({\dot{\rho }}^2+{\rho }^2){\dot{\theta }}^2-\frac{GM}{\rho }(3)$$
动量矩守恒（$H$代表总动量矩密度，即单位卫星质量的动量矩）：
$$H=v\times r={\rho }^2\dot{\theta }{e}_1\times e_2\Rightarrow {\rho }^2\dot{\theta }\equiv h(4)$$

接着，可以求解轨道方程与参数
结合能量守恒与动量守恒可得：
$$E=0.5({\dot{\rho }}^2+{\rho }^2)(\frac{h}{{\rho }^2}{)}^2-\frac{GM}{\rho }=\frac{h^2}{2}({\dot{\rho }}^2+{\rho }^2)/{\rho }^4-\frac{GM}{\rho }(5)$$
下面求解轨道方程，令
$$\rho =\frac{1}{u}\to \dot{\rho }=\frac{-\dot{u}}{u^2}$$,则有：
$$E=\frac{h^2}{2}({\dot{u}}^2+u^2)-GMu(6)$$

两边对微分得到：$0=h^2(\dot{u}\ddot{u}+u\dot{u})-GM\dot{u}=\dot{u}(h^2(\ddot{u}+u)-GM)$

所以有：$\dot{u}=0或者h^2(\ddot{u}+u)-GM=0(7)$

其中：$\dot{u}=0\Rightarrow u=u_0\Rightarrow \rho ={\rho }_0$是圆轨道。或者 $h^2(\ddot{u}+u)-GM=0$
求解得到：$u=c\sin (\theta +{\theta }_0)+\frac{GM}{h^2}$
所以有： $\rho =\frac{h^2}{GM}\frac{1}{1+ϵ\sin (\theta +{\theta }_0)}ϵ=c\frac{h^2}{GM}(8)$
可以看出（8）是圆锥曲线轨道。

下面推导$ϵ$的表达式.

结合能量守恒(4)与轨道方程(8)有：
$$\begin{array}{ll}E& =\frac{h^2}{2}({\dot{u}}^2+u^2)-GMu\\ & =\frac{h^2}{2}(c^{2}co{s}^2(\theta +{\theta }_0)+(c\sin (\theta +{\theta }_0)+\frac{GM}{h^2}{)}^2)-GMc\sin (\theta +{\theta }_0)-(\frac{GM}{h}{)}^2\\ & =\frac{h^2}{2}(c^2+\frac{(GM{)}^2}{h^4}+2c\sin (\theta +{\theta }_0)\frac{GM}{h^2})-GMc\sin (\theta +{\theta }_0)-(\frac{GM}{h}{)}^2\\ & =\frac{h^2}{2}{c}^2-\frac{(GM{)}^2}{2h^2}\\ c^2& =\frac{2E}{h^2}+\frac{(GM{)}^2}{h^4}\Rightarrow {ϵ}^2=(c\frac{h^2}{GM}{)}^2=\frac{2E{h}^2}{(GM{)}^2}+1\end{array}$$

选取适当的坐标系，以中心天体位置为原点，近日点为角度$\theta =0$，可以将轨道方程统一为：
$$\rho =\frac{h^2}{GM}\frac{1}{1+ϵ\cos \theta },ϵ=\sqrt{\frac{2E{h}^2}{(GM{)}^2}+1}(10)$$

最后，讨论轨道类型与常见参数
从(10)式可以看出:

当$ϵ=0$时，有$r\equiv \rho =\frac{h^2}{GM}=-\frac{GM}{2E}$是圆周运动，有根据(4)可以知道角速度为$r^2\dot{\theta }=h\to \omega \equiv \dot{\theta }=\frac{(GM{)}^2}{h^3}=\frac{(-2E{)}^{1.5}}{GM}$是匀速圆周运动。周期为：$T\equiv 2\pi /\omega =2\pi \frac{GM}{(-2E{)}^{1.5}}=2\pi \sqrt{\frac{(GM{)}^2}{(-2E{)}^3}}=2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$，
此时有，任意一点速率$v=\sqrt{GM/l}$ ，$l$是该点到中心天体的距离。设 $R$是中心天体的半径,$v=\sqrt{GM/R}$是该中心天体的第一宇宙速度。

当$ϵ=1$时，可得到$E=0$此时卫星刚刚可以逃逸出中心天体，轨道是抛物线，此时并非周期轨道，可得到近日点距离是$l\equiv \rho {|}_{\theta =0}=\frac{h^2}{2GM}$，焦半径是$r\equiv \rho {|}_{\theta =0.5\pi }=\frac{h^2}{GM}$，此时必有轨道上任意一点的速率：$v=\sqrt{2GM/l}$,$l$是卫星与中心天体的距离；所以任何中心天体的逃逸速度为$v=\sqrt{2GM/R}$，$R$是中心天体的半径。

当$ϵ>1$时，可得到$E>0$此时卫星必然逃逸出中心天体，轨道是双曲线。此时任意一点的速率$v>\sqrt{2GM/l}$，$l$是卫星与中心天体的距离。

当$0<ϵ<1$时，可得到$E<0$,此时卫星无法逃逸，被中心天体捕获，轨道是椭圆。
此时,长半轴$a$,短半轴$p$,焦半径$p$分别为:
$$\begin{array}{lll}a& =\frac{h^2}{2GM}(\frac{1}{1+ϵ}+\frac{1}{1-ϵ})& =-\frac{GM}{2E}\\ b^2& =2a\ast \frac{h^2}{2GM}& =-\frac{h^2}{E}\\ p& =\frac{h^2}{GM}& \end{array}$$
下面求运动周期，根据(4)式有${\rho }^2\dot{\theta }=h$,得到：${\int }_0^T{\rho }^2\dot{\theta }dt={\int }_0^{2\pi }{\rho }^{2}d\theta ={\int }_0^{T}hdt=hT$
因此有：
$$\begin{array}{lll}hT& =2\pi ab& \\ h^2{T}^2& =4{\pi }^2{a}^2{b}^2& =-4{\pi }^2\frac{(GMh{)}^2}{E^3}\\ T^2& =-4{\pi }^2\frac{(GM{)}^2}{E^3}& =4{\pi }^2\frac{a^3}{GM}\\ T& =2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}}& \end{array}$$
可以看到任何一个中心天体周围的椭圆轨道，长半轴、周期只与机械能有关，并且长半轴与周期的表达式与圆轨道一致，因此判定同一个中心天体上不同卫星的机械能密度，仅需观察周期即可，周期上的能量高，同周期必有相同的能量密度与长半轴。而短轴、偏心率还有焦半径与动量矩密度有关。