高数——关于微分方程共轭复根引发的复数思考

 因为在常系数二阶齐次线性微分方程的求解中有三种情况，分别是：

1. 两个实根
2. 一个二重根
3. 一对共轭复根

我又查了一下复数的相关知识，回顾这一部分。其中搜到一篇博客，引发了这篇的思考。博客原文：https://blog.csdn.net/so_geili/article/details/71859975

解释一：（比较形象）
虚数是利用虚轴和实轴来表示的，
类似在平面坐标系内的点，只有位置，没有大小。
就象坐在电影院里的两个人，不存在座位上的大小关系。
 
解释二：（比较民主）
数学上面的大小，其实是人为规定的一个定义，比如我们规定：在数轴上，右边的比左边的大。这样1就比－1大。反过来定义，在数学上也没什么问题，不过和实际生活中的使用，就乱掉了。所以一维情况，刚好是数学上和实际生活符合了，定义清晰明了，所以大家都同意用这个定义了。
复数的大小，我们也可以定义一下，先比较实部，实部大的那个复数就大，如果实部一样大，那就比较虚部。如果这样定义，那么就是 3+2i< 4+i了。可是有的人不愿意了，他重新定义：先比较虚部再比较实部，那么就是3+2i>4+i了。这两种定义哪个好？按理说是一样好，取舍哪个都没有十分的道理。更重要的是，人们发现其实定义不定义也没什么关系，所以干脆就不定义了。


解释三：（反证法推理）
能不能比较大小是个思考过程。。。首先，i^2=-1看能不能从这发现反证的方法。。。
反证：
Ａ
　假设复数能比较大小
　那么i和0也可以比较大小
Ｂ
　那么设i>0；
　那么-i<0
　1-i<1
　(1-i)*i<1*i(因为i>0,所以不变号)
　1+i<i
　1<0因此i>0不成立
Ｃ
　如果i<0
　同理:-i>0
　1-i>1
　(1-i)*i<1*i（因为i<0，所以变号)
　1+i<i
　1<0因此i<0不成立
Ｄ
　显然，i不等于0
所以综合ABCD，得出结论：i和1无法比较
既然i和1无法比较，那么说明并非所有虚数都可以比较——就是所谓的虚数不能比较大小。

楼主前两个解释，在理解上对我甚有裨益。但是第三条证明有严重问题，虚数和实数0怎么能比较大小？复数是向量的一种表示方式，即(a,b)向量对应的复数为a+bi，如果是要与0比较，也要明白是0向量，绝对不能将0向量与实数0混为一谈，从而作为媒介使虚数与实数产生比较效果。事实上，在复平面中一个复数就可以直接表示整个向量，相比于实数平面两点加方向实在简略太多，这对于计算高维空间（如三维空间：ai+bj+ck，参考高数空间向量部分）有巨大的帮助。其实二维向量也应该表示为ai+bj，但是因为我们将i这个方向定义为实数轴，所以写成a+bj，而i（就定义为x轴吧）轴作为实数轴，它起到了一个基准作用。夹角、方向等都以此为准，而x轴上的大小也自然是线性比较的：如(2,0),(1,0)我们认为的(2,0)比(1,0)大是以这个实轴作为基准，在右侧的更大。但是当考虑到j轴方向上的量时，如(2,1)与(2,2)两个点。我们比较的不是点到原点的长度，而是一个更加捉摸不定的含有另一维度的描述，他们都没有在实轴上，固然投影在x轴上可以比出大小，我们可以说(2,1)与(2,2)在x方向上同样大。但这并不是真实的(2,1)与(2,2)，故没有能够对比基准，无法比较大小。向量很好的物理应用是力学，(2,1)表示的力量模比(2,2)大，但是不能说f1>f2，只有当f1与f2水平时候才能比较大小。再举一个悬乎的例子，空间与时间，我们以空间来衡量房间的大小，但是加上时间维度以后，0年100平房子比0年50平更大，但是100年100平和200年50平怎么比？甚至，100年100平和100年50平怎么比？我可以说100年在时间维度是同等大的，但又弃空间于不顾了吗？