扩展欧几里得与逆元

第一次去清北学堂就学了扩欧，当时听得很懵，时隔将近两个月又把课件翻出来琢磨，终于明白了，做一下笔记，写的一塌糊涂不一定都对。

扩展欧几里得算法

众所周知 老师告诉我们，一定存在整数对(x,y)使得ax+by=gcd(a,b)。扩欧就是来求x和y。怎么求呢？既然叫做【扩展】欧几里得，那肯定是跟欧几里得算法有联系了，只不过在原有算法上“稍加修改”…

补一下欧几里得算法的代码：

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}

欧几里得算法的最终状态就是a=gcd(a,b)，b=0。有没有恍然大悟？我们只要令x=1，y=0，显然ax+by=gcd(a,b)。那么问题来了，如何从这一个状态往前推出前一个状态呢？

网上有很多推到给出了公式，但我喜欢颓废 我觉得自己感受过程比死板的公式更易理解。我觉得zhw老师举的这个栗子很好的帮我理解了这个问题。

举栗子之前，首先明确一个众所周知的事实：a%b=a-a/b*b

我们来看栗子：

比如12和7，用朴素欧几里得的过程是这样的：
gcd(12,7)=gcd(7,5)=gcd(5,2)=gcd(2,1)=gcd(1,0)=1。

如果我们倒着推：

末状态：1*1+0*0=1

即1*1+0*(2-2*1)=1 -> 0*2+1*1=1

即0*2+1*(5-2*2)=1 -> 1*5-2*2=1

即1*5-2*(7-1*5)=1 -> -2*7+3*5=1

即-2*7+3*(12-1*7)=1 -> 3*12-5*7=1

求得x=3 y=-5

意不意外？激不激动？如果把当前状态设为x1，y1，a，b，后一个状态设为x2，y2，那么前一个状态可以由后一个状态推导得来：x1=y2，y1=x2-a/b*y2。

这样就可以皆大欢喜地改进欧几里得算法了！

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) //直接取x，y的地址，直接修改
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int ans=exgcd(b,a%b,x,y);    //ans存储gcd
    int tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-a/b*y;
    return ans;
}

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逆元

如果a*b=1 (mod p)，我们就称b是a模p意义下的乘法逆元。

定理：a存在模p的乘法逆元的充要条件是gcd(a,p) = 1。

反证法还是比较好想的，假设gcd(a,p)!=1，那么a*b一定也含有gcd(a,p)，就不可能等于1了。

所以我们可以用扩欧求出一组x，y，满足ax+by=1。

可是怎么用扩欧求逆元？看起来多了一项啊。

模掉！（真暴力）

ax+by=1在模b意义下“by”这一项不就没了嘛！

这样，x就可以看做是a模b意义下的乘法逆元。

就可以用扩欧了！

int inver(int a,int p)
{
    int x,y;
    int gcd=exgcd(a,p,x,y);
    if(gcd!=1) return -1;    //若a，p不互质则无解
    int ans=(x%p+p)%p;       //x可能是负的
    return ans;
}

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ps：

在p是质数的情况下求逆元还可以用费马小定理！

费马小定理为： a^(p-1)=1 (mod p) (p为质数）

所以，a的逆元就是a^(p-2) mod p，快速幂即可求出。