线性代数

关于排列：

对换改变排列的奇偶性。
在全部的 n n 阶排列中，奇偶排列各占一半。

行列式

∑j1j2…jn∈Psgn(j1j2…jn)a1j1a2j2…anjn ∑ j 1 j 2 … j n ∈ P s g n ( j 1 j 2 … j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 … a n j n

也就是每行每列都选一个数相乘。

余子式

行列式 D D 的第 i i 行第 j j 列的余子式 Mij M i j 是将行列式的第 i i 行第 j j 列掉之后剩下的行列式的值。
代数余子式： Tij=|Mij|×(−1)i+j T i j = | M i j | × ( − 1 ) i + j

Cramer法则
如果线性方程组的系数行列式的值不等于零，方程组存在唯一解 xi=DiD x i = D i D 。

引理：
若齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组只有零解。
若齐次线性方程组有非零解，那么它的系数行列式为零。

逆矩阵

如果 A A 是一个 n n 阶方阵，存在 AB=BA=I A B = B A = I ，则称 A A 是可逆的， B B 是 A A 的一个逆矩阵。否则称 A A 是不可逆的（奇异的）。
如果 A A 是可逆的，那么它有且仅有一个逆矩阵。

det(A1A2…An)=det(A1)det(A2)…det(An) d e t ( A 1 A 2 … A n ) = d e t ( A 1 ) d e t ( A 2 ) … d e t ( A n )

若 AB=I A B = I ，则 det(A)det(B)=1 d e t ( A ) d e t ( B ) = 1 。
A有逆矩阵的必要不充分条件是 det(A) d e t ( A ) 不等于零。

A−1=1det(A)A∗ A − 1 = 1 d e t ( A ) A ∗

一些性质：
(AB)−1=B−1A−1 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1
(kA)−1=k−1A−1 ( k A ) − 1 = k − 1 A − 1

单位阵经过一次初等变换的矩阵成为初等矩阵。

初等矩阵乘以一个矩阵相当于对这个矩阵做初等行变换。
若矩阵B可以由矩阵A经过一系列初等变换得到，则称AB相抵（等价） A≅B A ≅ B 。
A≅B,B≅C⇒A≅C A ≅ B , B ≅ C ⇒ A ≅ C
A−1(A,I)=(I,A−1) A − 1 ( A , I ) = ( I , A − 1 )
对 A A 高斯消元消成单位阵，然后右边就是它的逆矩阵。

二维平面的旋转问题

向量 (x,y) ( x , y ) 逆时针旋转 α α 度得到向量 (xcosα−ysinα,xsinα+ycosα) ( x cos ⁡ α − y sin ⁡ α , x sin ⁡ α + y cos ⁡ α ) 。
（复平面上复数相乘模相乘角度相加）。

[cosαsinα−sinαcosα][xy]=[x′y′] [ cos ⁡ α − sin ⁡ α sin ⁡ α cos ⁡ α ] [ x y ] = [ x ′ y ′ ]

基尔霍夫矩阵

Dii=degree[i] D i i = d e g r e e [ i ]
Dij=−cnt[i][j] D i j = − c n t [ i ] [ j ]
|D|=0 | D | = 0
对于一棵树， Mii=1 M i i = 1 （数学归纳法可证明）。
完全图的生成树个数是 nn−2 n n − 2 。
基尔霍夫矩阵的主余子式的行列式的值就是原图生成树个数。

有向图基尔霍夫矩阵：
内向树（儿子指向父亲）：出度矩阵-邻接矩阵。
外向树（父亲指向儿子）：入度矩阵-出度矩阵。
带权生成树：
据基尔霍夫矩阵的定义我们可以知道他任意一个代数余子式是所有生成树的边权积的和。