Kiki & Little Kiki 2（矩阵快速幂（推理））

【题目来源】：https://vjudge.net/problem/HDU-2276
【题意】
给出编号为0-n-1的灯的状态，0代表熄灭，1代表已开，并且这些灯有序围成一个圆，也就是说0号的左边是n-1号。
那么，给定一个游戏规则，每次操作之后，如果当前灯的左边灯状态是1，那么当前灯就要改变状态，如果是1，就要变成0，如果是0，反之。
那么经过m次操作之后，输出这些灯的状态。
分析样例：
0101111
编号为0：左边是1，0变化成为1；
编号为1：左边是是0，不变。（对比的是没变之前的）
编号为2：左边是1，0变成1；
编号为3：左边是0，不变。
编号为4：左边是1，变为0；
编号为5：左边是1，变为0；
编号为6：左边是1，变为0；
那么经过一次操作之后，得出的状态是1111000。
【思路】
看到那么大的变换次数，想到快速幂解决，但是怎么构建初始矩阵呢？
现在可以这么想：（拿第一组样例来说）
某个矩阵 乘以0101111得到 1111000
因为当前灯的状态与前一台有关系，所以会发现：
如果前一项是1，后一项是1，那么会得到 0
如果前一项是1，后一项是0，那么会得到 1
如果前一项是0，后一项是1，那么会得到 1
如果前一项是0，后一项是0，那么会得到 0；
发现像极了某种运算，那就是异或（^）。
那么就可以由这个去构建矩阵：
1 0 0 0 0 0 1
1 1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 1 1
乘
0
1
0
1
1
1
1
得
1
1
1
1
0
0
0
（只看第一列。。。）
结果第一个1意思就是编号为0的灯的状态为已开，模拟一下：
（1*0+0*1+0*0+0*1+0*1+0*1+1*1）%2=1。
对，其他的自行模拟。（比较懒。。。）
然后呢，要想到，一般的话，矩阵乘法是有三个for的，也就是O（n³）的复杂度，但是这里的n是100， 里面还有一些操作，所以，为了节省时间。引入一个叫做：循环矩阵的概念（自行点开。。。）
循环矩阵遵循代数运算法则。对于两个循环矩阵 A 与 B 来说，A + B 也是循环矩阵。A*B 也是循环矩阵，并且 A*B=B*A
既然循环矩阵可以由上一行的数字得到下一行，那么我们只需要在矩阵乘法里算出一行，递推出其他行，那么只需要O（n²）的时间复杂度。
还有，为了节省时间，矩阵乘法里1*0其他的等等都可以用&运算来代替。
【代码】

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
const int mod=200907;
const double esp=1e-5;
typedef unsigned long long ll;
typedef long long LL;
int n,k;
char s[105];
struct mat
{
    int a[105][105];
} ans,base;
void print(mat t)
{
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        for(int j=1; j<=n; j++)
        {
            printf("%d ",t.a[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}
mat operator*(mat t,mat tt)
{
    mat r;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        r.a[1][i]=0;
        for(int j=1; j<=n; j++)
            r.a[1][i]^=(t.a[1][j]&tt.a[j][i]);
    }
    for(int i=2; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=n; j++)
            r.a[i][j]=r.a[i-1][(j-2+n)%n+1];
    return r;
}
void pow_mat()
{
    mem(ans.a,0);
    for(int i=1; i<=n; i++)
        ans.a[i][i]=1;
    mem(base.a,0);
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        base.a[i][i]=1;
        i==1?base.a[1][n]=1:base.a[i][i-1]=1;
    }
    while(k)
    {
        if(k&1)
            ans=ans*base;
        base=base*base;
        k>>=1;
    }
}
int main()
{
    while(~scanf("%d",&k))
    {
        scanf("%s",s);
        n=strlen(s);
        pow_mat();
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            int x=0;
            for(int j=1; j<=n; j++)
                x^=(s[j-1]-'0')&ans.a[i][j];
            printf("%d",x);
        }
        printf("\n");
    }
}