POJ1837 Balance 题解

题目大意：
一个天平，分别给出c个位置和g个钩码的质量，求解所有钩码全部放上时有多少种使天平平衡的方案，输出方案数。

样例输入：
2 4// 两个位置可放钩码，共四个钩码；
-2 3//两个位置为平衡点左边（感性理解一下）第二格和右边第三格；
3 4 5 8//四个钩码的质量；

样例输出：
2//有两种方案；

样例解释：
把四个钩码按顺序标号为1,2,3,4，则：
方案一：“-2”位置放1,2,3号钩码，“3”位置放4号钩码。
//2*（3+4+5）=3*8；
方案二：“-2”位置放2,4号钩码，“3”位置放1,3号钩码。
//2*（4+8）=3*（3+5）；

数据范围：
2<=c<=20,2<=g<=20,天平长度[-15,15],钩码质量[1,25]。

解题思路：
首先，要了解力矩平衡：动力臂乘动力等于阻力臂乘阻力。
然后考虑算法，朴素的枚举会爆炸。
由于每放一个钩码在某一位置上的状态可由某前一状态得到，所以自然想到动态规划。
dp[i][j]代表放上前i个钩码后天平偏移量为j的方案数，则可以得到动归方程dp[i][j+c[k]*g[i]]=dp[i][j+c[k]*g[i]]+dp[i-1][j]，i为钩码枚举，j为天平所有位置枚举，k为给出的天平位置枚举。
这里解释一下为什么是对dp[i][j+c[k]*g[i]]的更新而不是对dp[i][j]的更新。j为所有位置的循环，只有将前一位置设为dp[i-1][j]才能将前一位置枚举全，现一位置便可以更新全，所以现一位置就成了dp[i][j+c[k]*g[i]]。
另外，还存在一些小问题，大家可能注意到了天平左边的位置是用负数表示的，而数组却是从0开始。所以我们只能做一下转化，计算出天平的极限偏移量：20*15*25=7500.开一个长度为15000的数组，将7500作为平衡点即可，小于7500为左偏，反之右偏。
最后有一个优化，由于j代表前一位置偏移量，枚举时如果发现dp[i-1][j]未被访问过，就直接continue，不必循环接下来的k，理由是如果不存在状态dp[i-1][j]，就不会存在状态dp[i][j+c[k]*g[i]]。如何判断是否访问过？数组赋零，加一个判零条件就行了。

代码：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int c,g,i,j,k;
int dp[25][15000],cc[25],gg[25];
int main(){
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    cin>>c>>g;
    dp[0][7500]=1;//此时状态只有一个：什么都不放；
    for(i=1;i<=c;i++)
        cin>>cc[i];
    for(i=1;i<=g;i++)
        cin>>gg[i];
    for(i=1;i<=g;i++)
        for(j=0;j<=15000;j++)//最大偏移量7500，所以必须从零开始；
            if(dp[i-1][j])
                for(k=1;k<=c;k++)
                    dp[i][j+cc[k]*gg[i]]=dp[i][j+cc[k]*gg[i]]+dp[i-1][j];
    cout<7500];
    return 0;
}