codeforces 819 B(区间加线性函数值)

问题描述

首先我们考虑这样一个问题。
给你一个操作

add [l,r] k(x-l)+b 对于 x∈[l,r],d[x]+=k(x−r)+b

由于这个不是常数，我们没法用线段树或者树状数组来做，但是我们可以想到，如果是常数，我们一定可以这样

d[l]+=b,d[r+1]−=b;
然后都操作完成之后 d[i]=∑ij=0d[j]

这样就是 O(n)的 。
但是前面还有一个线性怎么办呢？

我们可以构造一个辅助数组 df[] 记录每一段上的增量，(有点像微积分里的导数);

具体来说可以这样

df[l+1]+=k,df[r+1]−=k ,
同理最后每个点上的增量就是 df[i]=∑ij=0df[i]
而 d[i]=d[i]+(df[i]=∑ij=0df[i]) ,最后再把 d[i] 累加,
而需要注意的一点是由于有了增量操作, d[r+1] 不应该只是加常数了，因为他要抵消前面的加和，这个可以简单计算一下 d[r+1]−=b+k∗(r−l)

summary

最后我们就可以得出计算 n 次操作后每个 d[i] 的值了，具体代码如下

inline void add(LL k,LL b, int l,int r){
  if(l>r)return;
  d[l]+=b;
  d[r+1]-=b+k*(r-l);
  df[l+1]+=k;
  df[r+1]-=k;
}

void clc(){
  LL sum =0;
  FOR(0,n){
    sum+=df[i];
    d[i]+=sum;
  }
  FOR(1,n){
    d[i]+=d[i-1];
  }
}

参考链接

codeforces 819B题分析

codeforces B. Mister B and PR Shifts

题目见上面链接

设 di 表示题意中 k=i 时的计算值 那么 pk 对 di 的贡献值为

d0+=|pk−k|
d1+=|pk−(k+1)|
…
dn−k+=|pk−(n)|
dn−k+1+=|pk−1|
…
dn−1+=|pk−(k−1)|

我们可以对 pk 的值做讨论，分 pk≥k or pk≤k ,把家和分段,具体可参考我的代码或则上面的参考链接,

AC code

#include
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ALL(x) (x.begin(),x.end())
#define ms(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
#define FORN(x,n) for(int i=x ; i<=n ; ++i)
#define FOR(x,n) for(int i=x ; i
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair Pair;

const int maxn = 1e6+10;
int n;
int p[maxn];//1;
LL d[maxn],df[maxn];

inline void add(LL k,LL b, int l,int r){
  if(l>r)return;
  d[l]+=b;
  d[r+1]-=b+k*(r-l);
  df[l+1]+=k;
  df[r+1]-=k;
}

void clc(){
  LL sum =0;
  FOR(0,n){
    sum+=df[i];
    d[i]+=sum;
  }
  FOR(1,n){
    d[i]+=d[i-1];
  }
}

int main(){

  ios::sync_with_stdio(false);
  cin.tie(0);
  ms(d,0);ms(df,0);
  cin>>n;
  FORN(1,n)cin>>p[i];

  FORN(1,n){
    if(p[i]>=i){
      add(-1,p[i]-i,0,p[i]-i);
      add(1,1,p[i]-i+1,n-i);
      add(-1,p[i]-1,n-i+1,n-1);
    }else{
      add(1,i-p[i],0,n-i);
      add(-1,p[i]-1,n-i+1,n-i+p[i]);
      add(1,1,n-i+p[i]+1,n-1);
    }

  }
  clc();
  int idx = min_element(d,d+n)-d;
  LL ans = d[idx];
  cout<" "<"\n";


  return 0;
  }