自然语言处理NLP（8）——句法分析b：完全句法分析
在上一部分中，我们简单介绍了完全句法分析的概念，并详细介绍了句法分析的基础：Chomsky形式文法（自然语言处理NLP（7）——句法分析a：Chomsky（乔姆斯基）形式文法）。
在这一部分中，我们将对完全句法分析进行详细介绍。
回顾一下，句法分析共有三种类型：完全句法分析、局部句法分析、依存关系分析。
对于完全句法分析，还是NLP领域中常用的三种解决方法：规则法、概率统计法、神经网络方法。
下面我们从这三个方法入手，对完全句法分析算法进行介绍。
【一】规则句法分析算法
从上述句法分析树的生成过程来看，很明显，句法分析算法大致上由三种策略：
1.自底向上
2.自顶向下
3.自底向上于自顶向下相结合
自底向上的方法从句子中的词语出发，基本操作是将一个符号序列匹配归约为其产生式的左部（用每条产生式左边的符号来改写右边的符号），逐渐减少符号序列直到只剩下开始符S为止。
自顶向下的方法从符号S开始搜索，用每条产生式右边的符号来改写左边的符号，然后通过不同的方式搜索并改写非终结符，直到生成了输入的句子或者遍历了所有可能的句子为止。
常用的句法分析算法有线图（chart）分析算法、CYK分析算法等等。
线图法将每个词看作一个结点，通过在结点间连边的方式进行分析，算法的时间复杂度为 O ( K n 3 ) O(Kn^3) O(Kn3)，其中 n n n为句子中词的个数；
CYK方法通过构造识别矩阵进行分析，时间复杂度相对线图法有所减小。
具体算法在这里不进行赘述，有兴趣的朋友们可以自行查阅相关资料~
无论对于上述任何一种方法而言，都由一个共同的缺点：难以区分歧义结构。
因此，引入概率统计法进行句法分析。
【二】概率统计句法分析算法
利用概率统计法进行句法分析，主要采用概率上下文无关文法（PCFG），它是CFG的概率拓广，可以直接统计语言学中词与词、词与词组以及词组与词组之间的规约信息，并且可以由语法规则生成给定句子的概率。
在这里多说一句，在NLP领域中，如果引入了概率，那么这种方法的作用很有可能是消歧，因为我们可以根据概率的大小对可能出现的情况进行选择。
而概率上下文无关文法（PCFG）的主要任务有两个：
1.句法分析树的消歧
2.求最佳分析树
二者之间有很大的相似之处。
概率上下文无关文法（PCFG）
一个PCFG由如下五个部分组成：
1.一个非终结符号集 N N N
2.一个终结符号集 ∑ \sum ∑
3.一个开始非终结符 S ∈ N S∈N S∈N
4.一个产生式集 R R R
5.对任意产生式 r ∈ R r∈R r∈R，其概率为 P ( r ) P(r) P(r)，产生式具有形式： X → Y , P X\rightarrow Y, P X→Y,P
其中， X ∈ N , Y ∈ ( N ∪ ∑ ) ∗ X∈N,Y∈(N∪\sum)^* X∈N,Y∈(N∪∑)∗，且 ∑ λ ( X → λ ) = 1 \sum_λ(X\rightarrow λ)=1 ∑λ(X→λ)=1
前四个部分与Chomsky形式文法中的概念类似，在这里不再进行赘述。
举个例子（这里只列出重写规则——产生式集 R R R）：
朋友们可能还是没有一个直观的了解，那么我们来对比一下PCFG和CFG。
对于一个句子‘Astronomers saw stars with ears’，分别用PCFG和CFG进行分析：
对于PCFG图中的概率值如何使用，朋友们可能已经有了一些想法，我们在后文中会提到，在这里把它放下，先考虑一下各个概率值是怎么来的。
与HMM模型参数学习的过程相类似（自然语言处理NLP（4）——序列标注a：隐马尔科夫模型（HMM）），对于有大规模标注的树库语料，利用最大似然估计（MLE）对概率值进行统计；对于没有大规模语料库的情况，借助EM迭代算法估计PCFG的概率参数。
从个人理解的角度来看，最大似然估计的过程就是一个数（三声）数（四声）的过程，具体过程与在之前章节提到的类似，不理解的朋友们可以参考：自然语言处理NLP（2）——统计语言模型、语料库
在了解了PCFG基本结构和其中的P是怎么来的之后，我们考虑一下这个P是干什么的。
其实很简单，每个规则的概率合在一起能做什么，用来计算整棵树出现的概率呗。
在此之前，我们探讨一下计算分析树概率的基本假设：
1.位置不变性：子树的概率与其管辖的词在整个句子中所处的位置无关。
2.上下文无关性：子树的概率与子树管辖范围以外的词无关。
3.祖先无关性：子树的概率与推导出该子树的祖先结点无关。
三个假设都很好理解，在这里就不做过多解释了。
还是以上例分析：
生成的整棵句法树的概率就是以这种方式计算出来的（其实就是概率值按照树结构的累乘，很容易理解）。
有了概率，消歧就很容易了：
假设上面的句子可以生成两个不同的句法树 t 1 , t 2 t_1,t_2 t1,t2：
很明显，选择概率大的句法树 t 1 t_1 t1 作为句法分析的结果。
对于给定的句子 S S S ，如有两棵句法分析树的概率不等且 P ( t 1 ) > P ( t 2 ) P(t_1)>P(t_2) P(t1)>P(t2)，则分析结果 t 1 t_1 t1 正确的可能性大于 t 2 t_2 t2，据此可以进行句法歧义消解。
特别地，语句在文法的概率等于所有分析树概率之和。
有了概率，有了选择分析树的方法，对于给定的一个句子，能不能求出最佳分析树呢？
很明显，我们有一种稍显笨拙的方法：穷举法——找到每一个可能的句法树，计算概率，然后取概率最大的句法树作为分析结果。但是这种方法有很大的弊端：效率非常低，尤其是当句子较长，生成句法树有多棵时，效率极低。
之前在HMM评估问题和解码问题中（自然语言处理NLP（4）——序列标注a：隐马尔科夫模型（HMM）），我们曾经介绍过以动态规划改进穷举算法的Viterbi算法，对于求解最佳分析树问题，也有类似的算法——PCFG Viterbi算法。
PCFG Viterbi算法
首先，与Viterbi算法类似，先定义PCFG Viterbi算法中的变量：
γ i j ( A ) γ_{ij}(A) γij(A)：非终结符 A A A 推导出语句 W W W 中子字串 w i w i + 1 . . . w j w_iw_{i+1}...w_j wiwi+1...wj 的最大概率
ψ i , j \psi_{i,j} ψi,j：记忆字串 w i w i + 1 . . . w j w_iw_{i+1}...w_j wiwi+1...wj 的Viterbi语法分析结果
此外，我们的输入是文法 G ( S ) G(S) G(S) 以及语句 W = w 1 w 2 . . . w n W=w_1w_2...w_n W=w1w2...wn
PCFG Viterbi算法流程如下：
1.初始化：
γ i i ( A ) = p ( A → w i ) , A ∈ V N , 1 ≤ i ≤ n γ_{ii}(A)=p(A \rightarrow w_i), \quad A∈V_N, \quad 1\le i \le n γii(A)=p(A→wi),A∈VN,1≤i≤n
2.归纳计算：对于 j = 1 , 2 , . . . , n , i = 1 , 2 , . . . , n − j j=1,2,...,n, \quad i=1,2,...,n-j j=1,2,...,n,i=1,2,...,n−j，重复下列计算
γ i ( i + j ) ( A ) = max B , C ∈ V N ; i ≤ k ≤ i + j p ( A → B C ) γ i k ( B ) γ ( k + 1 ) ( i + j ) ( C ) γ_{i(i+j)}(A)=\displaystyle\max_{B,C∈V_N;i \le k \le i+j}p(A \rightarrow BC)γ_{ik}(B)γ_{(k+1)(i+j)}(C) γi(i+j)(A)=B,C∈VN;i≤k≤i+jmaxp(A→BC)γik(B)γ(k+1)(i+j)(C)
ψ i ( i + j ) ( A ) = max B , C ∈ V N ; i ≤ k ≤ i + j p ( A → B C ) γ i k ( B ) γ ( k + 1 ) ( i + j ) ( C ) \psi_{i(i+j)}(A)=\displaystyle\max_{B,C∈V_N;i \le k \le i+j}p(A \rightarrow BC)γ_{ik}(B)γ_{(k+1)(i+j)}(C) ψi(i+j)(A)=B,C∈VN;i≤k≤i+jmaxp(A→BC)γik(B)γ(k+1)(i+j)(C)
输出：分析树根结点为 S S S (文法开始符号)，从 ψ 1 , n ( S ) \psi_{1,n}(S) ψ1,n(S)开始回溯，得到最优树。
上述过程可能有些抽象，我们来举个例子。
假设有如下PCFG：
输入的句子为：‘John ate fish with bone’，求它的最佳分析树。
过程如下图所示：
上图中，PCFG Viterbi算法是从最底层开始执行的：最底层的竖线链接相当于初始化过程；
此后，按照上面描述的算法过程分别计算两个词、三个词（图中的结点）构成文法的概率，直到最后一层。
最后，对整个句子进行回溯即可得到最佳分析树：
【三】神经网络句法分析
在介绍神经网络句法分析方法之前，首先要了解递归神经网络RvNN。
很明显，在句法分析中，我们希望将句子按照结构进行分解，得到分析树。
以此为目标，RvNN的基本思想很简单：希望将问题在结构上分解为一系列相同的“单元”，单元的神经网络可以在结构上展开，且能沿展开方向传递信息。
具体有关RvNN的内容在这里就不再赘述，不了解的朋友们可以参考博客：神经网络基础：DNN、CNN、RNN、RvNN、梯度下降、反向传播，里面有很详细的介绍。
现在，我们有了RvNN，想要对一句话进行句法分析，要怎么做呢？
其实过程与上述PCFG Viterbi算法有相似之处，我们来举个例子。
假设有一句话：“我弟弟准备一切用品”，我们已经对它做好了词法分析，于是这句话成了这个样子：
“我/PN 弟弟/NN 准备/VV 一切/QP 用品/NN”（空格表示分词）。
在这里再次强调一下，所有句法分析的输入一定是词法分析之后具有词性等信息的，已经分好词的句子。
然后，我们将分好词的句子输入神经网络：
此时，神经网络可以得到“我弟弟”、“弟弟准备”、“准备一切”、“一切用品”这四种组合的打分，假设“我弟弟”的打分最高，那么神经网络将选出这两个词进行组合。
组合之后，“我弟弟”就成了一个词，各组成部分不可单独与句子中的其他词进行组合，网络结构变成了这个样子：
接下来，继续对相邻两个词进行组合：
假设这一步中“一切用品”的打分最高，神经网络选出这两个词进行组合，各组成部分不可再单独与句子中的其他词进行组合，网络结构调整如下：
我们可以看到，“准备一切”的组合已经消失，因为“一切”已经和“用品”组成一个词“一切用品”。
而“准备”还未与任何词（或词组）进行组合，因此计算“我弟弟准备”和“准备一切用品”的打分，假设后者得分更高。
那么下一步：
最后，我们得到：
至此，句法分析完成，我们得到了句向量和该种结构的打分。
【四】句法分析评价标准
在了解了各种句法分析方法之后，我们来看看如何评价一个句法分析结果的好坏。
分析树中 非终结符节点 （短语）标记格式如下：
XP-(起始位置：终止位置)
其中，XP为短语名称，(起始位置：终止位置)为该节点的跨越范围，起始位置指该节点所包含的子节点的起始位置，终止位置为该节点所包含的子节点的终止位置。
举个例子：
性能指标依然是老三样：精度（precision, P)、召回率（recall, R）以及F值。
对这三个概念不了解的朋友们可以参考：自然语言处理NLP（6）——词法分析中的第五部分：词法分析评价指标。
假设我们有这样一句话：
‘Sales executives were examining the figures with great care yesterday.’
我们给出的标准句法分析答案如下：
模型给出的答案如下：
二者结果中红色部分是相同的部分，表示系统分析结果只有3个短语与标准答案完全一样，且标准输出和系统分析结果都有8个短语，那么：
P = 3 / 8 R = 3 / 8 F = 3 / 8 P = 3/8 \quad \quad R = 3/8 \quad \quad F = 3/8 P=3/8R=3/8F=3/8
在这一部分中，我们主要介绍了完全句法分析，并详细介绍了解决完全句法分析问题的三种方法：规则法、概率法、神经网络法。
在下一部分的内容中，我们将会介绍句法分析领域的另外两个主题：局部句法分析、依存关系分析。
如果本文中某些表述或理解有误，欢迎各位大神批评指正。
谢谢！