Linear Algebra - Lesson 26. 对称矩阵和正定性

Schedule

• Symmetric matrices
• Eigenvalues / Eigenvectors
• Start : Positive Definite Matrices

Symmetric matrices

A=A^T
对称矩阵是矩阵中很重要的一部分
现在主要讨论的是实矩阵,其特征值也为实数.
对于实矩阵来说,含有下列两个特性:
1. The eigenvalues are REAL
2. The eigenvectors can be chosen PERPENDICULAR. 书上自己看.

对于单位矩阵来说,符合对称矩阵,特征值均为1, 每一个向量都是特征向量

如果特征值各不相等,那么每个特征值的特征向量是在一条线上;
如果特征中重复,就有一整个平面的特征向量,则可以在该平面上,选出互相垂直的特征向量.

一整套特征向量,假设满足前提条件,拥有一套完整的特征向量,
通常情况下,
矩阵A可以携程A=S\LambdaS^{-1}
Symmetric Case, 则在相互正交的特征向量基础上,可以进行标准化,从而得到标准正交的特征向量,则A可以写成 A=Q\LambdaQ^{-1}
同时,对于Q来说,对于一个列向量标准正交化的矩阵来说,其逆等于其转置.
则 A=QΛQ−1=QΛQT

如果对 QΛQT 取其转置,则还是得到该矩阵,这被称为谱定理(spectral theorem). 谱指的是矩阵的特征值集合.

如何证明实矩阵的特征值是实数?

从没有限制的矩阵开始.

对于任意矩阵满足 Ax=λx 的 A , A,x,λ 都有可能是复数.
对其每一部分取其共轭复数,从而得到 A¯x¯=λ¯x¯

对于实矩阵来说, A¯=A ,从而得出 A¯x¯=Ax¯=λ¯x¯
(从而证明了如果一个实矩阵有一特征值 λ 和一特征向量 x ,则该矩阵必然含有另一个特征值 λ¯ 和特征向量 x¯ ).

通过引入对称性质,可以进而证明实对称矩阵的特征值均为实数而非复数.
Ax¯=λ¯x¯ 对其进行转置,得到 x¯TAT=x¯Tλ¯ 因为矩阵是对称的 ,则 A=AT .
等式两边同时乘以 x ,得到

x¯TAx=λ¯x¯Tx

对 Ax=λx 同时乘以 x¯T ,得到

x¯TAx=λx¯Tx

从而得出, λ¯x¯Tx=λx¯Tx→λ¯=λ

假设x是复向量,则x可以表示为 [x1]

Chrome崩溃,笔记消失部分,待补充…

当给定对称矩阵时,我们知道其特征值是实数,那么接下来我们将考虑其特征值是正还是负,这关系到微分防尘的状态稳定与否.

通过计算特征值来判断比较麻烦,因为计算特征值是个工作量很大的事情.就对阵矩阵而言,住院的符号与特征值的符号一致. 正主元的个数等于正特征值的个数. 同时, 主元乘积和特征值乘积都等于行列式.

Positive definite (symmetric) matrix

首先是对称的,特征值均为正实数,所有的主元均为正数. 行列式为正并且所有子行列式为正.