机器学习线性模型:一元线性回归问题实现(matlab)

1. 机器学习(一)线性回归

给定数据集 D={( x 1 x_1 x1, y 1 y_1 y1),( x 2 x_2 x2, y 2 y_2 y2),…,( x m x_m xm, y m y_m ym)},其中 x i = ( x i 1 ; x i 2 ; . . . ; x i d ) , y i ∈ R x_i = (x_{i1};x{_i2};...;x_{id}),y_i \in R xi=(xi1;xi2;...;xid),yiR。“线性回归”(linear regression)试图学的一个线性模型以尽可能地准确预测实值输出标记

当前我只考虑输入属性的数目为一个

对于下面的实现主要给出代码中体现计算的一些公式,在吴恩达老师的视频以及周志华老师的《机器学习》一书中很容易实现,而我后期机器学习基本公式推导、模型讲解以及相关的改进也是基于上述的资料。

1.1最小二乘法

线性回归试图学得
f ( x i ) = ω x i + b f(x_i) = \omega x_i+b f(xi)=ωxi+b
性能度量:均方误差
基于均方误差最小化来进行模型求解的方法称为“最小二乘法”
求得的参数 ω \omega ω b b b最优解的闭式解
ω = ∑ i = 1 m y i ( x i − x ) ∑ i = 1 m x i 2 − 1 m ( ∑ i = 1 m x i ) 2 \omega = \frac{\sum_{i=1}^m y_i(x_i-x)}{\sum_{i=1}^m x_i^2-\frac1m(\sum_{i=1}^m x_i)^2} ω=i=1mxi2m1(i=1mxi)2i=1myi(xix)
b = 1 m ∑ i = 1 m ( y i − ω x i ) b = \frac1m \sum_{i=1}^{m}(y_i-\omega x_i) b=m1i=1m(yiωxi)
具体的matlab代码实现:

function [coef_,intercept_]=Linearmodel_1D(X,y)
m = size(X,2);
average_x = sum(X)/m;
w_t = sum(y.*(X-average_x));
w_b = sum(X.^2)-(sum(X)).^2/m;
coef_ = w_t/w_b;
intercept_ = sum(y-coef_*X)/m;
y_predict = coef_*X+intercept_;
plot(X,y,'ro',X,y_predict,'b--');
legend('Training data','Linear regression');
end

1.2 梯度下降

梯度下降采用吴恩达老师课程讲解的内容,具体简单写一下一元线性回归的必备知识点:

  • 假设函数: h θ ( x ) = θ 0 + θ 1 x h_{\theta}(x) = \theta_0+\theta_1 x hθ(x)=θ0+θ1x
  • 参数: θ 0 \theta_0 θ0, θ 1 \theta_1 θ1
  • 代价函数(Cost function):
    J ( θ 0 , θ 1 ) = 1 2 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) 2 J(\theta_0,\theta_1) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})^2 J(θ0,θ1)=2m1i=1m(hθ(x(i))y(i))2
  • 目的: m i n i m i z e θ 0 , θ 1 J ( θ 0 , θ 1 ) minimize_{\theta_0,\theta_1} J(\theta_0,\theta_1) minimizeθ0,θ1J(θ0,θ1)

具体的代码实现:

clc;
clear;
data = load('test.txt');
X = data(:,1);
y = data(:,2);
[coef,intercep]=Linearmodel_1D(X,y)
figure;
plot(X,y,'r*');

% x加入一列,变成(25,2)
m = length(y);
X = [ones(m,1),data(:,1)];
% 初始化参数
theta = zeros(2,1);

% Gradient descent settings
iterate = 1000;
alpha = 0.01;
% 梯度下降,找到最佳参数
theta = gradientDescent(X,y,theta,alpha,iterate)

hold on;
% keep previous plot visible
plot(X(:,2),X*theta,'-');
legend('Training data','Linear regression of gradient descent');
hold off;

梯度下降函数的具体迭代公式如下:

θ 0 : = θ 0 − α 1 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) \theta_0 := \theta_0-\alpha \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)}) θ0:=θ0αm1i=1m(hθ(x(i))y(i))
θ 1 : = θ 1 − α 1 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) \theta_1 := \theta_1-\alpha \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)}) θ1:=θ1αm1i=1m(hθ(x(i))y(i))

function theta = gradientDescent(X,y,theta,alpha,num_iters)
m = length(y);
%样本数量
for iter = 1: num_iters
    H = X*theta;
    theta_sum = [0;0];
    %theta_0更新
    for i = 1:m
        theta_sum(1,1)=theta_sum(1,1)+(H(i)-y(i));
    end
    
    % theta_1 更新
    for i = 1:m
        theta_sum(2,1)=theta_sum(2,1)+(H(i)-y(i))*X(i,2);
    end
    
    theta = theta-(alpha*theta_sum)/m;
end
end

同时为了比较最下二乘法和梯度下降算法,绘制出两类算法对应的图像以及相应参数如下
机器学习线性模型:一元线性回归问题实现(matlab)_第1张图片最小二乘法 θ 0 \theta_0 θ0=0.7463 θ 1 \theta_1 θ1=1.8745
梯度下降法 θ 0 \theta_0 θ0=-2.448 θ 1 \theta_1 θ1=2.1077

1.3问题

  1. 对于上述求得的假设函数应该如何选取?
  2. 不同的单变量线性回归,不同方法的选取的标准是什么?

对于我这个机器新手来说,还需要进一步加深理解,如果有啥大神来了可以帮我解答一下,我会非常感谢的!!

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