计算机视觉（二）：直方图均衡

一、灰度空间的直方图均衡

1.直方图

      灰度级范围为[0,L-1]的数字图像的直方图是离散函数 $h(r_k)=n_k$，其中$r_k$是第$k$级灰度值，$n_k$是图像中灰度为$r_k$的像素个数。在实践中，经常用乘积$MN$表示的图像总像素除每个分量来归一化直方图，通常$M$和$N$是图像的行数和列数。因此，归一化后的直方图由
$$p(r_k)=\frac{n_k}{MN}$$给出，其中$k=0,1,...,L-1$。归一化直方图的所有分量之和应等于1。
      直观上，可以得出这样的结论：若一幅图像的像素倾向于占据整个可能的灰度级并且分布均匀，则该图像会有高对比度的外观并展示灰色调的较大变换。最终效果将是一幅灰度细节丰富且动态范围较大的图像。为实现该效果，我们需要一个变换函数，将输入图像直方图信息进行变换，得到均匀分布的图像。

2.变换函数应满足条件

      考虑连续灰度值，并用变量$r$表示待处理图像的灰度。通常，我们假设$r$的取值区间为[0,L-1]，且$r=0$表示黑色，$r=L-1$表示白色。在$r$满足这些条件的情况下，我们将注意力集中到变换函数
$$s=T(r)0\le r\le L-1$$上，对于输入图像中每个具有$r$值的像素产生一个输出灰度值$s$。为了实现变换后的灰度值均匀分布的效果，变换函数需满足以下条件：
(a) $T(r)$在区间[0,L-1]上为单调递增函数
(b) 当$0\le r\le L-1$时，$0\le T(r)\le L-1$，且$T(r)$均匀分布
为了能用反函数
$$r=T^{-1}(s)0\le s\le L-1$$计算原色图像，在这种情况下，条件(a)改为
(a`) $T(r)$在区间[0,L-1]上为严格单调递增函数

证明：
(a) 要求$T(r)$单调递增，可保持原来输入值大小关系不变，即无论如何映射，较亮区域依然亮，较暗区域依然暗。
(b) 保证输出灰度值的范围与输入灰度值的范围相同，且变换后的灰度值需均匀分布。
(a`) 要求$T(r)$严格单调递增，可保证从$s$到$r$的反映射是一对一的，防止出现二义性。

3.变换函数

      一幅图像的灰度级可视为区间[0,L-1]内的随机变量。随机变量的基本描述子是其概率密度函数(PDF)。令$p_r(r)$和$p_s(s)$分别表示随机变量$r$和$s$的概率密度函数，其中$p$的下标用于指示$p_r(r)$和$p_s(s)$是不同的函数。
      在图像处理中，特别重要的变换函数有如下形式：
$$s=T(r)=(L-1){\int }_0^r{p}_r(w)dw(1)$$式中，$w$是积分的假变量。该公式满足上述条件(a`)(b)。

证明：
公式右边是随机变量$r$的累积分布函数(CDF)。因为PDF总为正，回忆可知一个函数的积分是该函数下方的面积，固该公式为严格递增函数，满足条件(a`)。
现证明该公式满足条件(b)：
用微积分换元法，可得：
$$p_r(r)dr=p_{T(r)}(T(r))d(T(r))=p_s(s)ds$$即
$$p_s(s)=p_r(r)|\frac{dr}{ds}|(2)$$又因为
$$\frac{ds}{dr}=\frac{dT(r)}{dr}=(L-1)\frac{d}{dr}[{\int }_0^r{p}_r(w)dw]=(L-1)p_r(r)(3)$$将(3)代入(2)可得
$$p_s(s)=p_r(r)|\frac{dr}{ds}|=p_r(r)|\frac{1}{(L-1)p_r(r)}|=\frac{1}{L-1}0\le s\le L-1$$从该式最后一行中的$p_s(s)$可知，这是一个均匀概率密度函数。
得证。

4.直方图均衡

      对于离散值，我们处理其概率与求和来代替处理概率密度函数与积分。如前所述，一幅数字图像中灰度级$r_k$出现的概率近似为
$$p_r(r_k)=\frac{n_k}{MN}k=0,1,...,L-1$$代入式(1)可得离散形式为
$$s_k=T(r_k)=(L-1)\sum _{j=0}^k{p}_r(r_j)=\frac{L-1}{MN}\sum _{j=0}^k{n}_{j}k=0,1,2,...,L-1(4)$$通过计算上式，即可实现直方图均衡化。均衡后的图像的灰度级会跨越更宽的灰度级范围，最终结果是增强来对比度。
例1

$r_k$	$n_k$	$p_k(r_k)=n_k/MN$
$r_0=0$	790	0.19
$r_1=1$	1023	0.25
$r_2=2$	850	0.21
$r_3=3$	656	0.16
$r_4=4$	329	0.08
$r_5=5$	245	0.06
$r_6=6$	122	0.03
$r_7=7$	81	0.02

假设图像的直方图如图1所示，直方图均衡变换函数的值使用式(4)得到，即
$$s_0=T(r_0)=7\sum _{j=0}^0{p}_r(r_j)=7p_r(r_0)=1.33$$$$s_1=T(r_1)=7\sum _{j=0}^1{p}_r(r_j)=7p_r(r_0)+7p_r(r_1)=3.08$$及$s_2=4.55$，$s_3=5.67$，$s_4=6.23$，$s_5=6.65$，$s_6=6.86$，$s_7=7.00$。在这一点上，$s$值一直是分数，因为它们是通过求概率值的和产生的，因此我们要把它们近似为最接近的整数：
$$s_0=1.33\to 1s_1=3.08\to 3s_2=4.55\to 5s_3=5.67\to 6$$$$s_4=6.23\to 6s_5=6.65\to 7s_6=6.86\to 7s_7=7.00\to 7$$这是均衡后的直方图的值，如图2所示。

二、彩色空间的直方图均衡

      如果单独对RGB彩色空间的各个分量进行直方图均衡，将产生不正确的彩色。一种更合乎逻辑的方法是，均匀地展开这种彩色灰度，而保持彩色本身（即色调）不变。HSV彩色空间是适合这种方法的理想空间，即只对$V$分量进行均衡化。

三、代码实现（Python+OpenCV)

OpenCV的equalizeHist()函数能支持对单向量直方图均衡。

1.灰度图像

import cv2

img = cv2.imread('gray.jpg',0) # 加载灰度图片
equal_img = cv2.equalizeHist(img) # 直方图均衡
cv2.imwrite('equal_gray.jpg',equal_img) # 保存图片

2.彩色图像

import cv2

img = cv2.imread('img.jpg')  # 加载BGR图片
img_hsv = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2HSV) # BGR转HSV
img_v = img_hsv[:, :, 2] # 获取V分量
equal_img_v = cv2.equalizeHist(img_v) # 对V分量进行直方图均衡
img_hsv[:, :, 2] = equal_img_v # 将均衡后的V分量赋值给原图
equal_img = cv2.cvtColor(img_hsv, cv2.COLOR_HSV2BGR) # HSV转BGR
cv2.imwrite('equal_img.jpg',equal_img) # 保存图片

以上全部内容参考书籍如下：
冈萨雷斯《数字图像处理（第三版）》