算法第二章上机实践报告

实践报告任选一题进行分析。内容包括：

1. 实践题目
   

   7-2 改写二分搜索算法 （20 分）

   题目来源：《计算机算法设计与分析》，王晓东

   设a[0:n-1]是已排好序的数组，请改写二分搜索算法，使得当x不在数组中时，返回小于x的最大元素位置i和大于x的最小元素位置j。当搜索元素在数组中时，i和j相同，均为x在数组中的位置。

   输入格式:

   输入有两行：

   第一行是n值和x值； 第二行是n个不相同的整数组成的非降序序列，每个整数之间以空格分隔。

   输出格式:

   输出小于x的最大元素的最大下标i和大于x的最小元素的最小下标j。当搜索元素在数组中时，i和j相同。 提示：若x小于全部数值，则输出：-1 0 若x大于全部数值，则输出：n-1的值 n的值

   输入样例:

   在这里给出一组输入。例如：

   6 5
   2 4 6 8 10 12
   

   输出样例:

   在这里给出相应的输出。例如：

   1 2

2. 问题描述
            简单分析一下这道题的输入和输出：输入是数组的元素个数N，要查找的数字X，以及数组元素的值；而输出是比X要大和要小的两个数组元素的下标，或者输出与X相等的元素的下标。这里的数组是非降序的，所以很容易想到是通过比较得方法来进行查找，因此使用二分查找算法。但是，因为二分查找算法只能查找到与X的值匹配的元素的下标，因此要查找一个不存在的数，需要对算法进行改造。
           改造的方法：二分查找算法的边界条件是：Left<=Right，而经过分析，当Left到大于Right时，Left指向了比X要大的那个元素的下标，而Right指向了比X要小的那个元素的下标，（即两者刚好错开了）因此只要在二分查找算法的基础上输出Left和Right即可。
   
   
3. 算法描述
   算法的基本思想：假设数据是按非降序排序的，对于给定值x，从序列的中间位置开始比较，如果当前位置值等于x，则查找成功；若x小于当前位置值，则在数列的前半段中查找；若x大于当前位置值则在数列的后半段中继续查找，直到找到为止。
   

    1 int BinSearch(int pta[], int n, int x){
    2     int lens = n;
    3     int left = 0;
    4     int right = lens - 1;
    5     
    6     while(left <= right){
    7         int mid = (left + right)/2;
    8         if(x == pta[mid]) {     //成功匹配
    9             cout << mid << " " << mid;
   10             return 0;
   11         }
   12         else if(x < pta[mid]){
   13             right = mid - 1;
   14         }
   15         else if(x > pta[mid]){
   16             left = mid + 1;
   17         }
   18     }
   19     //只有当无法匹配时，才会运行这个部分，这个时候left>right
   20     while(left > right){
   21         cout << right << " " << left;
   22         return 0;
   23     }
   24     
   25     return 0;
   26 }

    

4. 算法时间及空间复杂度分析（要有分析过程）
   
   对于n个元素的情况：第一次二分：n/2
   第二次二分：n/2^2= n/4
   ......
   m次二分：n/(2^m)
   在最坏情况下是在排除到只剩下也没有得到结果，所以为
   n/(2^m)=1;
   2^m=n;
   所以时间复杂度为：log2n 
   
   空间复杂度：各个变量的空间复杂度都是O(1)，所以算法空间复杂度为O（1）。
   

5. 心得体会（对本次实践收获及疑惑进行总结）
   通过这次的二分查找算法，更进一步的体会到了分治法的基本思想在实际问题中的应用，对如何使用二分查找算法以及改写有了进一步的认识。