【luogu3768】简单的数学题 欧拉函数(欧拉反演)+杜教筛

题目描述

给出 $n$ 和 $p$ ，求 $(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nij\gcd(i,j))\mod p$ 。

$n\le 10^{10}$ 。

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题解

欧拉函数(欧拉反演)+杜教筛

推式子：

$$\begin{align}&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nij\gcd(i,j)\\=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nij\sum\limits_{d|\gcd(i,j)}\varphi(d)\\=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nij\sum\limits_{d|i,d|j}\varphi(d)\\=&\sum\limits_{d=1}^n\varphi(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}id\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}jd\\=&\sum\limits_{d=1}^nd^2\varphi(d)(\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}i)^2\\=&\sum\limits_{d=1}^nd^2\varphi(d)(\frac{\lfloor\frac nd\rfloor(\lfloor\frac nd\rfloor+1)}2)^2\end{align}$$

对 $\lfloor\frac nd\rfloor$ 分块处理，只需要求出 $f(n)=n^2\varphi(n)$ 的前缀和即可。

显然这是一个积性函数，然而 $n$ 有 $10^{10}$ 之大，不能线性筛。

考虑杜教筛。设 $g(n)=n^2$ ，那么有：

$$\begin{align}&(f·g)(n)\\=&\sum\limits_{d|n}f(d)g(\frac nd)\\=&\sum\limits_{d|n}d^2\varphi(d)·(\frac nd)^2\\=&n^2\sum\limits_{d|n}\varphi(d)\\=&n^3\end{align}$$

所以：

$$\begin{align}&\sum\limits_{i=1}^ni^3\\=&\sum\limits_{i=1}^n(f·g)(i)\\=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{d|i}f(d)·g(\frac id)\\=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{d|i}f(\frac id)g(d)\\=&\sum\limits_{d=1}^ng(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}f(i)\\=&\sum\limits_{d=1}^nd^2S(\lfloor\frac nd\rfloor)\end{align}$$

故有：

$$S(n)=\sum\limits_{i=1}^ni^3-\sum\limits_{i=2}^ni^2S(\lfloor\frac nd\rfloor)$$

线性筛预处理出 $n^{\frac 23}$ 以内的 $S(i)$ ，对超过 $n^{\frac 23}$ 的部分进行杜教筛即可。

可能需要用到的公式：

$$\sum\limits_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6\\\sum\limits_{i=1}^ni^3=\frac{n^2(n+1)^2}4$$

时间复杂度 $O(n^{\frac 23})$ ，这里偷懒使用map，复杂度多一个 $\log$ 。

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