矩阵相关的小证明

如何用高斯消元法求矩阵的逆？

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如何判断一个矩阵是否有非零特征值？

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，则有 $A$ 有非零特征值 $\iff$ $A \ne 0$ 。

证明：
$A$ 没有非零特征值 $\iff$ $|\lambda I - A| = \lambda^n \iff (\lambda I - A) \sim \lambda I \iff A = 0$

（$\color{red}{\mathsf{UPD}}$：上述证明中，第二个 $\iff$ 不成立，两个方阵特征多项式相同并不能推出二者相似，第三个 $\iff$ 存疑）

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$\forall A\in\mathbb R^{m\times n}$，$A^\mathrm{T}A$ 与 $AA^\mathrm{T}$ 有相同的非零特征值。

证明：设 $x$ 是 $A^\mathrm{T}A$ 的关于特征值 $\lambda$ 的特征向量，即
\[
A^\mathrm{T}A x = \lambda x
\]
两边同时左乘 $A$ 得
\[
AA^\mathrm{T}(Ax) = \lambda (Ax)
\]
所以 $\lambda$ 也是 $AA^\mathrm{T}$ 的特征值。证毕。

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$\forall A\in \mathbb{R}^{n\times n}$，$A^{\mathrm{T}}A$ 为半正定阵。\(\newcommand{\zz}[1]{#1^{\mathrm{T}}}\) \(\newcommand{\inprod}[2]{\langle#1\,,#2\rangle}\)

证明：
首先，不难证明，$\forall A\in \mathbb{R}^{m\times l}, B\in\mathbb{R}^{l\times n}, (AB)^\mathrm{T} = B^\mathrm{T}A^\mathrm{T}$ 。
从而易见 $\zz{A}A$ 是对称阵。
$\forall x\in\mathbb{R}^{n}$ 有 $\inprod{x}{\zz{A}Ax} = \zz x\zz AAx = \zz{(Ax)}Ax = \inprod{Ax}{Ax} \ge 0$ 。
所以 $\zz AA$ 是半正定阵。证毕。

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设 $y_1, y_2, \dots, y_k \in\mathbb{R}^{n}$（$k\le n$）线性无关。设 $x\in\mathbb{R}^{n}$，则有

$x, y_1, y_2, \dots, y_k$ 线性相关 $\iff$ $x = \sum_{1\le i\le k} a_i y_i$，$a_i\in\mathbb{R}$ 。

证明：对任意不全为 $0$ 的 $a_0, a_1, a_2, \dots, a_k\in\mathbb{R}$ 使得
\[
a_0 x + \sum_{1\le i\le k} a_i y_i = 0
\]
有 $a_0\ne 0$，若不然则有 $\sum_{1\le i\le k} a_i y_i = 0$，且 $a_1, \dots, a_k$ 不全为 $0$；这与 $y_1, \dots, y_k$ 线性无关相矛盾。