标量（0D 张量）
仅包含一个数字的张量叫作标量（scalar，也叫标量张量、零维张量、0D 张量）。在Numpy
中，一个float32 或float64 的数字就是一个标量张量（或标量数组）。你可以用ndim 属性
来查看一个Numpy 张量的轴的个数。标量张量有0 个轴（ndim == 0）。张量轴的个数也叫作
阶（rank）。下面是一个Numpy 标量。
>>> import numpy as np >>> x = np.array(12) >>> x array(12) >>> x.ndim 0
向量（1D 张量）
数字组成的数组叫作向量（vector）或一维张量（1D 张量）。一维张量只有一个轴。下面是
一个Numpy 向量。
>>> x = np.array([12, 3, 6, 14, 7]) >>> x array([12, 3, 6, 14, 7]) >>> x.ndim 1
矩阵（2D 张量）
向量组成的数组叫作矩阵（matrix）或二维张量（2D 张量）。矩阵有2 个轴（通常叫作行和
列）。你可以将矩阵直观地理解为数字组成的矩形网格。下面是一个Numpy 矩阵。
>>> x = np.array([[5, 78, 2, 34, 0],
[6, 79, 3, 35, 1],
[7, 80, 4, 36, 2]])
>>> x.ndim
2
第一个轴上的元素叫作行（row），第二个轴上的元素叫作列（column）。在上面的例子中，
[5, 78, 2, 34, 0] 是x 的第一行，[5, 6, 7] 是第一列。
3D 张量与更高维张量
将多个矩阵组合成一个新的数组，可以得到一个3D 张量，你可以将其直观地理解为数字
组成的立方体。下面是一个Numpy 的3D 张量。
>>> x = np.array([[[5, 78, 2, 34, 0], [6, 79, 3, 35, 1], [7, 80, 4, 36, 2]], [[5, 78, 2, 34, 0], [6, 79, 3, 35, 1], [7, 80, 4, 36, 2]], [[5, 78, 2, 34, 0], [6, 79, 3, 35, 1], [7, 80, 4, 36, 2]]]) >>> x.ndim 3
关键属性
张量是由以下三个关键属性来定义的。
轴的个数（阶）。例如，3D 张量有 3 个轴，矩阵有 2 个轴。这在 Numpy 等 Python 库中
也叫张量的ndim。
形状。这是一个整数元组，表示张量沿每个轴的维度大小（元素个数）。例如，前面矩
阵示例的形状为(3, 5)，3D 张量示例的形状为(3, 3, 5)。向量的形状只包含一个
元素，比如(5,)，而标量的形状为空，即()。
数据类型（在 Python 库中通常叫作 dtype）。这是张量中所包含数据的类型，例如，张
量的类型可以是float32、uint8、float64 等。在极少数情况下，你可能会遇到字符
（char）张量。注意，Numpy（以及大多数其他库）中不存在字符串张量，因为张量存
储在预先分配的连续内存段中，而字符串的长度是可变的，无法用这种方式存储。
以MNIST 例子说明
张量train_images 的轴的个数，即ndim 属性
>>> print(train_images.ndim)
3
下面是它的形状
>>> print(train_images.shape)
(60000, 28, 28)
下面是它的数据类型，即dtype 属性
>>> print(train_images.dtype)
uint8
所以，这里train_images 是一个由8 位整数组成的3D 张量。更确切地说，它是60 000
个矩阵组成的数组，每个矩阵由28×28 个整数组成。每个这样的矩阵都是一张灰度图像，元素
取值范围为0~255。
在Numpy 中操作张量
选择张量的特定元素叫作张量切片（tensor slicing）
选择第10~100 个数字（不包括第100 个），并将其放在形状为(90, 28,28) 的数组中。
>>> my_slice = train_images[10:100]
>>> print(my_slice.shape)
(90, 28, 28)
它等同于下面这个更复杂的写法，给出了切片沿着每个张量轴的起始索引和结束索引。
注意，: 等同于选择整个轴。
>>> my_slice = train_images[10:100, :, :] #等同于前面的例子
>>> my_slice.shape
(90, 28, 28)
>>> my_slice = train_images[10:100, 0:28, 0:28] #也等同于前面的例子
>>> my_slice.shape
(90, 28, 28)
一般来说，你可以沿着每个张量轴在任意两个索引之间进行选择。例如，你可以在所有图
像的右下角选出14 像素×14 像素的区域：
my_slice = train_images[:, 14:, 14:]
也可以使用负数索引。与Python 列表中的负数索引类似，它表示与当前轴终点的相对位置。
你可以在图像中心裁剪出14 像素×14 像素的区域：
my_slice = train_images[:, 7:-7, 7:-7]
现实世界中的数据张量
向量数据：2D 张量，形状为 (samples, features)
时间序列数据或序列数据：3D 张量，形状为 (samples, timesteps, features)
图像：4D张量，形状为(samples, height, width, channels)或(samples, channels, height, width)
视频：5D张量，形状为(samples, frames, height, width, channels)或(samples, frames, channels, height, width)
广播
如果将两个形状不同的张量相加，会发生
什么？
如果没有歧义的话，较小的张量会被广播（broadcast），以匹配较大张量的形状。广播包含
以下两步。
(1) 向较小的张量添加轴（叫作广播轴），使其ndim 与较大的张量相同。
(2) 将较小的张量沿着新轴重复，使其形状与较大的张量相同。
张量点积
在Numpy 和Keras 中，都是用标准的dot 运算符来实现点积。
import numpy as np
z = np.dot(x, y)
对于两个矩阵x 和y，当且仅当x.shape[1] == y.shape[0] 时，你才可以对它们做点积dot(x, y)）。
得到的结果是一个形状为(x.shape[0], y.shape[1]) 的矩阵，其元素为x的行与y 的列之间的点积。
其简单实现如下。
def naive_matrix_dot(x, y): assert len(x.shape) == 2 assert len(y.shape) == 2 assert x.shape[1] == y.shape[0] z = np.zeros((x.shape[0], y.shape[1])) for i in range(x.shape[0]): for j in range(y.shape[1]): row_x = x[i, :] column_y = y[:, j] z[i, j] = naive_vector_dot(row_x, column_y) return z
为了便于理解点积的形状匹配，可以利用可视化来帮助理解。
张量变形（tensor reshaping）
张量变形是指改变张量的行和列，以得到想要的形状。变形后的张量的元素总个数与初始
张量相同。简单的例子可以帮助我们理解张量变形。
>>> x = np.array([[0., 1.], [2., 3.], [4., 5.]]) >>> print(x.shape) (3, 2) >>> x = x.reshape((6, 1)) >>> x array([[ 0.], [ 1.], [ 2.], [ 3.], [ 4.], [ 5.]]) >>> x = x.reshape((2, 3)) >>> x array([[ 0., 1., 2.], [ 3., 4., 5.]])
经常遇到的一种特殊的张量变形是转置（transposition）。对矩阵做转置是指将行和列互换，使x[i, :] 变为x[:, i]。
>>> x = np.zeros((300, 20)) >>> x = np.transpose(x) >>> print(x.shape) (20, 300)
深度学习的几何解释
前面讲过，神经网络完全由一系列张量运算组成，而这些张量运算都只是输入数据的几何
变换。因此，你可以将神经网络解释为高维空间中非常复杂的几何变换，这种变换可以通过许
多简单的步骤来实现。
对于三维的情况，下面这个思维图像是很有用的。想象有两张彩纸：一张红色，一张蓝色。
将其中一张纸放在另一张上。现在将两张纸一起揉成小球。这个皱巴巴的纸球就是你的输入数
据，每张纸对应于分类问题中的一个类别。神经网络（或者任何机器学习模型）要做的就是找
到可以让纸球恢复平整的变换，从而能够再次让两个类别明确可分。通过深度学习，这一过程
可以用三维空间中一系列简单的变换来实现，比如你用手指对纸球做的变换，每次做一个动作，
如图2-9 所示。
