目录

（目录翻译来自网络）

致教师

致学生

第一部分

第1章数、函数与图形

1.1引言

1.2数轴与坐标平面毕达哥拉斯

1.3直线的斜率和方程

1.4圆与抛物线笛卡儿和费马

1.5函数的概念

1.6函数的图形

1.7三角函数的引入：函数sinθ和cosθ

复习小结：定义、概念及方法

附加问题

第2章函数的导数

2.1什么是微积分切线问题

2.2如何计算切线的斜率

2.3导数的定义

2.4速度与变化率牛顿和莱布尼茨

2.5极限的概念两个三角函数的极限

2.6连续函数中值定理和其他定理

复习小结：定义、概念及方法

附加问题

第3章导数的运算

3.1多项式函数的导数

3.2函数积、商的求导法则

3.3复合函数求导和链式法则

3.4一些三角函数的导数

3.5隐函数和分数指数函数的求导

3.6高阶导数

复习小结：概念、公式及方法

附加问题

第4章导数的应用

4.1递增函数与递减函数最大值与最小值

4.2凹性与拐点

4.3最大值和最小值问题的应用

4.4更多最大／最小值问题光的反射与折射

4.5复合函数的变化率

4.6牛顿法解方程

4.7（选学）经济学上的应用边际分析法

复习小结：概念及方法

附加问题

第5章不定积分和微分方程

5.1引言

5.2微分与切线逼近

5.3不定积分换元积分法

5.4微分方程分离变量法

5.5重力作用下的运动逃逸速度和黑洞

复习小结：概念及方法

附加问题

第6章定积分

6.1引言

6.2面积问题

6.3“∑”符号与某些特殊求和

6.4曲线下的面积定积分黎曼

6.5极限思想下的面积计算

6.6微积分基本定理

6.7定积分的性质

复习小结：概念及方法

附加问题

附录：希波克拉底拱形

第7章定积分的应用

7.1引言：定积分的直观含义

7.2两条曲线之间的面积

7.3体积计算1：圆盘法

7.4体积计算2：圆柱壳法

7.5弧长

7.6旋转曲面的面积

7.7功和能

7.8流体静力学

复习小结：概念与方法

附加问题

附录：阿基米德与球体体积

第二部分

第8章指数函数与对数函数

8.1引言

8.2指数与对数的回顾

8.3数e和函数y=e;x

8.4自然对数和函数y=lnx欧拉

8.5应用人口增长和放射性衰变

8.6更多应用——控制人口增长

复习小结：概念及公式

附加问题

第9章三角函数

9.1三角函数的回顾

9.2正弦和余弦函数的导数

9.3正弦和余弦函数的积分蒲丰投针问题

9.4其他四个三角函数的导数

9.5反三角函数

9.6简谐运动：钟摆问题

9.7（选学）双曲函数

复习小结：定义及公式

附加问题

第10章积分法

10.1简介基本公式

10.2换元法

10.3三角函数的积分

10.4三角换元法

10.5完全平方法

10.6部分分式法

10.7分部积分法

10.8综合法处理复杂类型的积分策略

10.9数值积分辛普森法则

复习小结：公式及方法

附加问题

附录1：悬链线或悬挂链曲线

附录2：沃利斯乘积：pi／2=2／1*2／3*4／3*4／5*6／5*6／7…

附录3：莱布尼茨如何发现公式：pi／4=1—1／3+1／5—1／7+…

第11章积分的进一步应用

11.1离散系统的质心

11.2形心

11.3帕普斯定理

11.4惯性矩

复习小结：定义及概念

附加问题

第12章不定式和反常积分

12.1简介中值定理的回顾

12.2 "0／0"不定式：洛必达法则

12.3其他类型的不定式

12.4反常积分

12.5正态分布：高斯

复习小结：定义及概念

附加问题

第13章常数项无穷级数

13.1什么是无穷级数

13.2收敛数列

13.3收敛和发散级数

13.4收敛级数的一般性质

13.5正项级数比较判别法

13.6积分判别法欧拉常数

13.7比值判别法和根值判别法

13.8交错级数的判别

复习小结：定义、概念及判别方法

附加问题

附录1：欧拉发现公式∑1／n;2=pi;2／6

附录2：更多关于无理数的问题：证明pi为无理数

附录3：关于级数∑1／Pn，其中Pn为素数

第14章幂级数

14.1引言

14.2收敛区间

14.3幂级数的微分与积分

14.4泰勒级数和泰勒公式

14.5应用泰勒公式的计算

14.6微分方程的应用

14.7（选学）幂级数的运算

14.8（选学）复数和欧拉公式

复习小结：定义、公式及方法

附加问题

附录：伯努利数和欧拉的众多美妙的发现

第三部分

第15章圆锥曲线

15.1引言圆锥截面

15.2重新审视圆与抛物线

15.3椭圆

15.4双曲线

15.5焦点—准线—偏心的定义

15.6（可选）二次方程绕坐标轴旋转

复习小结：定义及性质

附加问题

第16章极坐标

16.1极坐标系

16.2极坐标方程的更多图像

16.3圆、圆锥曲线和螺旋线的极坐标方程

16.4弧长和切线

16.5极坐标中的面积

复习小结：定义及公式

附加问题

第17章参数方程及平面内的向量

17.1曲线的参数方程

17.2摆线和其他类似曲线

17.3向量代数单位向量i和j

17.4向量函数的导数速度和加速度

17.5曲率和单位法向量

17.6加速度的切分量和法分量

17.7开普勒定理和牛顿的万有引力定律

复习小结：定义及公式

附加问题

附录1：最速降线问题的伯努利解法

第18章三维空间的向量与曲面

18.1三维空间的坐标和向量

18.2两个向量的标量积

18.3两个向量的向量积

18.4直线和平面

18.5圆柱坐标和旋转曲面

18.6二次曲面

18.7圆柱坐标和球面坐标

复习小结：定义及方程

第19章偏导数

19.1多元函数

19.2偏导数

19.3曲面的切平面

19.4增量和微分基本引理

19.5方向导数和梯度

19.6偏导数的链式法则

19.7最大值和最小值问题

19.8条件极值拉格朗日乘数法

19.9（选学）拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程拉普拉斯和傅里叶

19.10（选学）隐函数

复习小结：定义及方法

第20章重积分

20.1累次积分—体积

20.2二重积分和累次积分

20.3二重积分的物理应用

20.4极坐标下的二重积分

20.5三重积分

20.6圆柱坐标

20.7球面坐标万有引力定律

20.8曲面面积勒让德公式

复习小结：方法和公式

附录：欧拉公式∑1／n;2=pi;2／6的二重积分证明

第21章曲线积分和曲面积分格林公式高斯公式和斯托克斯公式

21.1平面上的曲线积分

21.2与路径无关：保守场

21.3格林公式

21.4曲面积分和高斯公式

21.5斯托克斯公式

21.6麦克斯韦方程组终极思考

复习小结：概念及定理

附录A.微积分定理

A.1实数系

A.2极限定理

A.3连续函数的一些延伸性质

A.4中值定理

A.5连续函数的积分

A.6微积分基本定理的另一种证明

A.7无长度的连续曲线

A.8 e=limh→0（1+h）1／h的存在性

A.9不可积函数

A.10反代换积分的有效性

A.11部分分式分解定理的证明

A.12拉贝和高斯的比率判别法

A.13绝对收敛和条件收敛

A.14狄利克雷判别法狄利克雷

A.15幂级数的一致收敛

A.16幂级数的除法

A.17混合偏导数的相等性

A.18带积分符号的微分法

A.19基本引理的证明

A.20隐函数定理的证明

A.21重积分的变量代换雅可比矩阵

B.回顾一些知识

B.1二项式定理

B.2数学归纳法

解答

索引