二次函数

    早在初一，我们就已经学习了一次函数，也知道了它图像上每一部分所代表的含义，那么知道这些后，二次函数呢？它是不是也跟一次函数有一样的模式呢？当然我们要通过研究，不然是不会知道的。

    二次函数，听名字就知道，肯定有一个未知数是二次的，那么二次函数最基本的样子就是y＝x²，那么对于这个函数，他的图像是什么样子的？如下图：

图（1）y＝x²

很清楚的可以看出，它是弧形的。也有一个很特殊的点，就是（0,0）点，因为只有它是和x轴相交的，并且带入对应的方程x²＝0是成立的。所以在这里，图像与X轴的交点坐标的x值就是对应的方程的解。

    这只是最普通的情况，如果稍微复杂一点，比如：y＝x²＋2x+1，可以取（0,1）（-1,0）（1,4）（-2,1）（-3,4）这五个点然后绘制图像：

图（2）y＝x²＋2x＋1

同样，它的图像也是弧形，都是从左下降再上升，并且将图像与x轴的交点坐标（-1,0）带入对应的方程x²＋2x＋1＝0中，也是成立的。

    通过观察两个图像，我发现了一些问题，一次函数都是一个y对应一个x，可是在二次函数这里，都是一个y对应两个x，两个x的值互为相反数，所以图像就出现了两边对称的情况，如图（1），图像以y轴为对称轴，左右两边对称，图（2），以x＝-1为对称轴左右两边对称。所以与x轴相交的点不仅是方程的解，还是整个图像的中点。

    除了这两个函数图像，还有一种图像，它的开口是朝下的，

图（4）y＝－x²

因为它x前有一个负号，所以它开口就是朝下的。从左上升再下降。

    其实，画了很多图像，我发现图像只可能是开口向上或者开口向下，然后在坐标系里的任意一个位置，那么我就在想，开口是相同的时候，图像在左或在右有没有什么联系。于是，我先把y＝x²＋2x＋1等号右边的部分分解成了y＝（x＋1）²，然后再将y＝x²和y＝（x＋1）²的图像画在了一起，我发现这俩图像是一样的，只不过位置不同而已，如果把

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（x＋1）看成一个整体的话，那么两个解析式不同的地方就是²下面的数，所以在解析式上，就是一个加了1，在图像上，y＝x²＋2x＋1的图像整体往右移一格也就是与y＝x²重合了。那么如果是y＝x²－2x＋1的话，就是y＝x²的图像往右移一格就是它的图像了。

    并且，如果是y＝x²－1这种，就是往下移一格，加1就往上移1格。

    这基本上就是二次函数的图像了，对应的不等式也就是以x轴为界，上半部分是大于0的情况，下半部分就是小于0的情况。如果都在x轴上方，那么不等式就只有大于0的情况，在x轴的下方，就只有小于0的情况。