DP专题整理

简单DP

背包问题

《背包九讲》笔记

G - 免费馅饼

HDU - 1176

题意

小明初始站在长度为10的数轴上5的位置。每秒钟会从天上掉下馅饼，给出掉落的位置x和时间T，求最大能接到的馅饼数。

题解

基础DP。
下一秒这个位置最大能接到的馅饼数是上一秒这个位置以及左、右位置馅饼数的最大值，递推即可。

代码

#include 
#include 
using namespace std ;
int a[100001][12];
int f[100001][12];
int main (){
    int n;
    while (scanf("%d", &n) != EOF && n) {
        memset (a, 0, sizeof a) ;
        memset (f, 0, sizeof f) ;
        int x, T, i, j, maxT = 0 , ans = 0 ;
        while (n--) {
            scanf ("%d%d", &x, &T);
            ++a[T][x];
            maxT = max(maxT, T);
        }
        f[1][4] = a[1][4];
        f[1][5] = a[1][5];
        f[1][6] = a[1][6];
        for (i = 2; i <= maxT; ++i){
            for ( j = 0; j < 11; ++j) {
                f[i][j] = f[i-1][j];
                if (j > 0)
                    f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-1]);
                if (j < 10)
                    f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j+1]);
                f[i][j] += a[i][j];
            }
        }
        for (i = 0; i < 11; ++i)
            ans = max(ans, f[maxT][i]);
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

E - Super Jumping! Jumping! Jumping!

HDU - 1087

题意

给出一个一维棋盘，最左起点最右终点，每个位置都有一个整数值，可以从值小的位置向右跳到值大的位置。得分是路径上值的总和。求最大得分。

题解

基础DP。
下一个点的最大得分是前面所有点中的最大得分点加上它自己的值。

代码

#include 
#include 

int main(){
    int n, v[1005], dp[1005];
    while (scanf("%d", &n), n) {
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        int maxn = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
            scanf("%d", v+i);
        for (int i = 1; i <= n; ++i){
            int max = 0;
            for (int j = 1; j < i; ++j){
                if (dp[j] > max && v[j] < v[i])
                    max = dp[j];
            }
            dp[i] = max + v[i];
            maxn = maxn

J - FatMouse's Speed

HDU - 1160

题意

给出一群老鼠的体重和奔跑速度，求一个最长的老鼠编号序列，这个序列中的老鼠体重递增，奔跑速度递减。

题解

最长上升（下降）子序列。
先按照体重排个序，然后最长下降子序列DP即可。
WA了好几次，主要是对这个算法还不是很了解，应该是O(nlogn)的时间复杂度。
输出序列用到了前驱数组和递归输出。

代码

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

struct mouse{
    int w, s, id;
}mice[1005];

bool cmp(mouse a, mouse b){
    if (a.w == b.w)
        return a.s > b.s;
    return a.w < b.w;
}

void output(int cur, int pre[]){
    if (cur == 0) return;
    output(pre[cur], pre);
    printf("%d\n", mice[cur].id);
}

int main(){
    int t = 1;
    mice[0].w = 0, mice[0].s = 10005;
    while (~scanf("%d%d", &mice[t].w, &mice[t].s)){
        mice[t].id = t;
        ++t;
    }
    sort(mice+1, mice+t, cmp);
    
    int dp[1005] = {0}, maxn = 1, pre[1005] = {0}, cur = 1;
    for (int i = 1; i < t; ++i){
        for (int j = 0; j < i; ++j){
            if (mice[j].w < mice[i].w && mice[j].s > mice[i].s && dp[j]+1 > dp[i]){
                dp[i] = dp[j]+1;
                pre[i] = j;
                if (dp[i] > maxn){ maxn = dp[i]; cur = i; }
            }
        }
    }
    printf("%d\n", maxn);
    output(cur, pre);
    return 0;
}

L - Common Subsequence

POJ - 1458

题意

给出两个字符串，求它们的最长公共子序列长度。

题解

最长公共子序列，裸题。

if (a[i] == b[j])
    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
else
    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);

代码

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

int main(){
    char a[1005], b[1005];
    while (~scanf("%s%s", a+1, b+1)){
        int dp[1005][1005] = {0};
        int x = strlen(a+1), y = strlen(b+1);
        for (int i = 1; i <= (int)strlen(a+1); ++i){
            for (int j = 1; j <= (int)strlen(b+1); ++j){
                if (a[i] == b[j])
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
                else
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
            }
        }
        printf("%d\n", dp[x][y]);
    }
    return 0;
}

M - Help Jimmy

POJ - 1661

题意

Jimmy从坐标为(x,y)的点掉落下来，速度1单位/s，如果掉落下去的距离超过了max就会摔死。空间中有许多横着的木板，属性为(x1,x2,h)。在木板上可以横向移动，速度1单位/s。求最快到达地面的时间。

题解

基础DP。
用dp[i][0]表示从第i块木板左侧掉落的到达地面时间，dp[i][1]表示右侧。转移方程为：

dp[i][0] = 
    p[i].h - p[k].h + 
    min(dp[k][0]+p[i].x1-p[k].x1, 
        dp[k][1]+p[k].x2-p[i].x1);
dp[i][1] = 
    p[i].h - p[k].h + 
    min(dp[k][0]+p[i].x2-p[k].x1, 
        dp[k][1]+p[k].x2-p[i].x2);

代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

struct plat{
    int x1, x2, h;
}p[1005];
int maxn, dp[1005][2];

bool cmp(plat a, plat b){
    return a.h < b.h;
}

void calc_left(int i){
    int k = i - 1;
    while (k > 0 && p[i].h - p[k].h <= maxn){
        if (p[i].x1 >= p[k].x1 && p[i].x1 <= p[k].x2){
            dp[i][0] = p[i].h - p[k].h + min(dp[k][0]+p[i].x1-p[k].x1,
                                             dp[k][1]+p[k].x2-p[i].x1);
            return;
        } else --k;
    }
    if (p[i].h - p[k].h > maxn)
        dp[i][0] = 0x3f3f3f3f;
    else
        dp[i][0] = p[i].h;
}

void calc_right(int i){
    int k = i - 1;
    while (k > 0 && p[i].h - p[k].h <= maxn){
        if (p[i].x2 >= p[k].x1 && p[i].x2 <= p[k].x2){
            dp[i][1] = p[i].h - p[k].h + min(dp[k][0]+p[i].x2-p[k].x1,
                                             dp[k][1]+p[k].x2-p[i].x2);
            return;
        } else --k;
    }
    if (p[i].h - p[k].h > maxn)
        dp[i][1] = 0x3f3f3f3f;
    else
        dp[i][1] = p[i].h;
}

void solve(){
    memset(dp, 0, sizeof dp);
    int n;
    scanf("%d%d%d%d", &n, &p[0].x1, &p[0].h, &maxn);
    ++n, p[0].x2 = p[0].x1;
    for (int i = 1; i < n; ++i)
        scanf("%d%d%d", &p[i].x1, &p[i].x2, &p[i].h);
    p[n].x1 = -20001, p[n].x2 = 20001, p[n].h = 0;
    sort(p, p+n+1, cmp);
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i){
        calc_left(i);
        calc_right(i);
    }
    
    printf("%d\n", min(dp[n][0], dp[n][1]));
}

int main(){
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) solve();
    return 0;
}

状态压缩DP

D - Doing Homework

HDU - 1074

题意

给出n门作业的名称、截止时间和所需时间。当超过截止时间时会扣分。求最小的扣分数和做作业的顺序。

题解

状态压缩DP。
看了题解才知道这样做。
首先是二进制法遍历集合全排列，然后遍历当前排列中包含的上一个做完的作业，即遍历每一种作业，找出扣分的最小值作为上一个做完的作业。记录这一状态，并且记录前驱（输出用）。

代码

/******************************
 *File name: hdu1029.cpp
 *Author: wzhzzmzzy
 *Created Time: 日  4/23 20:01:35 2017
 *TODO: HDU 1029 状压DP 水
 ******************************/

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

数位DP

不要62

HDU - 2089

题意

求从l到r的所有数字中，不含有4和62的数字有多少。

题解

数位DP入门。
用dp[i][j]表示j开头的i位数。首先打表，然后根据读入的数字挨个匹配累加即可。
递推公式：

for (int i = 1; i < 7; ++i)
    for (int j = 0; j < 10; ++j)
        for (int k = 0; k < 10; ++k)
            if (j != 4 && !(j == 6 && k == 2))
                dp[i][j] += dp[i-1][k];

代码

/******************************
 *File name: hdu2089.cpp
 *Author: wzhzzmzzy
 *Created Time: 二  4/25 20:05:44 2017
 *TODO: HDU 2089 数位DP
******************************/

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include