矩阵求导术(上)

对原文进行了重新整理排版:
转自知乎长躯鬼侠的专栏,(根据我的推测作者本科是清华大学电子工程系,现在卡内基梅隆大学(世界第一CS大学)计算机工程学博士生),在此献上我的膝盖.
原文地址:https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748

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正文:

矩阵求导的技术，在统计学、控制论、机器学习等领域有广泛的应用。鉴于我看过的一些资料或言之不详、或繁乱无绪，本文来做个科普，分作两篇，上篇讲标量对矩阵的求导术，下篇讲矩阵对矩阵的求导术。本文使用小写字母x表示标量，粗体小写字母表示（列）向量，大写字母表示矩阵。

首先来琢磨一下定义，标量f对矩阵X的导数，定义为

即f对逐元素求导排成与尺寸相同的矩阵。然而，这个定义在计算中并不好用，实用上的原因是对函数较复杂的情形难以逐元素求导；哲理上的原因是逐元素求导破坏了整体性。试想，为何要将f看做矩阵而不是各元素的函数呢？答案是用矩阵运算更整洁。所以在求导时不宜拆开矩阵，而是要找一个从整体出发的算法。

为此，我们来回顾，一元微积分中的导数（标量对标量的导数）与微分有联系：

多元微积分中的梯度（标量对向量的导数）也与微分有联系：

这里第一个等号是全微分公式，第二个等号表达了梯度与微分的联系：全微分是梯度向量与微分向量的内积

受此启发，我们将矩阵导数与微分建立联系：

其中代表迹(trace)是方阵对角线元素之和，满足性质：对尺寸相同的矩阵A,B，，即是矩阵,的内积。与梯度相似，这里第一个等号是全微分公式，第二个等号表达了矩阵导数与微分的联系：全微分是导数与微分矩阵的内积。

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运算法则

然后来建立运算法则。回想遇到较复杂的一元函数如，我们是如何求导的呢？通常不是从定义开始求极限，而是先建立了初等函数求导和四则运算、复合等法则，再来运用这些法则。故而，我们来创立常用的矩阵微分的运算法则：

1. 加减法：；矩阵乘法： ；转置：；迹：。
2. 逆：。此式可在两侧求微分来证明。
3. 行列式： ，其中表示的伴随矩阵，在可逆时又可以写作。此式可用Laplace展开来证明，详见张贤达《矩阵分析与应用》第279页。
4. 逐元素乘法：，表示尺寸相同的矩阵,逐元素相乘。
5. 逐元素函数： ，是逐元素标量函数运算， 是逐元素求导数。举个例子，

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迹技巧

我们试图利用矩阵导数与微分的联系 ，在求出左侧的微分后，该如何写成右侧的形式并得到导数呢？这需要一些迹技巧(trace trick)：

1. 标量套上迹：
2. 转置：。
3. 线性：。
4. 矩阵乘法交换：，其中与尺寸相同。两侧都等于。
5. 矩阵乘法/逐元素乘法交换：，其中,,尺寸相同。两侧都等于。

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观察一下可以断言，若标量函数f是矩阵经加减乘法、逆、行列式、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对f求微分，再使用迹技巧给套上迹并将其它项交换至左侧，对照导数与微分的联系，即能得到导数。

特别地，若矩阵退化为向量，对照导数与微分的联系 ，即能得到导数。

在建立法则的最后，来谈一谈复合：假设已求得，而是的函数，如何求呢？在微积分中有标量求导的链式法则，但这里我们不能随意沿用标量的链式法则，因为矩阵对矩阵的导数截至目前仍是未定义的。于是我们继续追本溯源，链式法则是从何而来？源头仍然是微分。我们直接从微分入手建立复合法则：先写出，再将用表示出来代入，并使用迹技巧将其他项交换至左侧，即可得到。

最常见的情形是，此时

可得到

。

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例子

接下来演示一些算例。特别提醒要依据已经建立的运算法则来计算，不能随意套用微积分中标量导数的结论，比如认为AX对X的导数为A，这是没有根据、意义不明的。

例1：

，求。其中是列向量，是矩阵是列向量，f是标量。

解：

先使用矩阵乘法法则求微分，，注意这里的,是常量，,，得到： 。

由于是标量，它的迹等于自身，，套上迹并做矩阵乘法交换：，注意这里我们根据交换了与。

对照导数与微分的联系，得到。

注意：这里不能用，导数与矩阵乘法的交换是不合法则的运算（而微分是合法的）。有些资料在计算矩阵导数时，会略过求微分这一步，这是逻辑上解释不通的。

例2：

，求。其中是列向量，是矩阵，是列向量，表示逐元素求指数，f是标量。

解：

先使用矩阵乘法、逐元素函数法则求微分：

再套上迹并做交换：

注意这里我们先根据交换了、与，再根据交换了与。

对照导数与微分的联系，得到

例3:

，求。其中是列向量，是矩阵，是矩阵，是对称矩阵，是逐元素函数，f是标量。

解：

先求，求微分，使用矩阵乘法、转置法则：，对照导数与微分的联系，得到，这里是对称矩阵。

为求，再将用表示出来代入，并使用矩阵乘法/逐元素乘法交换：，对照导数与微分的联系，得到。

例4【线性回归】：

， 求的最小二乘估计，即求的零点。其中是列向量，是矩阵，是列向量，l是标量。

解：

这是标量对向量的导数，不过可以把向量看做矩阵的特例。

先将向量模平方改写成向量与自身的内积：

求微分，使用矩阵乘法、转置等法则：

对照导数与微分的联系，得到。

的最小二乘估计为。

例5【方差的最大似然估计】：

样本，求方差的最大似然估计。

写成数学式是：，求的零点。其中是列向量，是样本均值，对称正定矩阵，l是标量，表示自然对数。

解：
首先求微分，使用矩阵乘法、行列式、逆等运算法则，

第一项是
第二项是。

再给第二项套上迹做交换：
= = ，

其中先交换迹与求和，然后将 交换到左边，最后再交换迹与求和，并定义为样本方差矩阵。
得到。对照导数与微分的联系，有，其零点即的最大似然估计为。

例6【多元logistic回归】：

，求。其中是除一个元素为1外其它元素为0的列向量，是矩阵，是列向量，l是标量；表示自然对数，，其中表示逐元素求指数，代表全1向量。

解1：

首先将softmax函数代入并写成 = ，这里要注意逐元素log满足等式，以及满足。

求微分，使用矩阵乘法、逐元素函数等法则：。

再套上迹并做交换，注意可化简，这是根据等式，

故
=
= 。

对照导数与微分的联系，得到。

解2：

定义，则，先同上求出 ，再利用复合法则：，
得到。

最后一例留给经典的神经网络。神经网络的求导术是学术史上的重要成果，还有个专门的名字叫做BP算法，我相信如今很多人在初次推导BP算法时也会颇费一番脑筋，事实上使用矩阵求导术来推导并不复杂。为简化起见，我们推导二层神经网络的BP算法。

例7【二层神经网络】：

，求和。其中是除一个元素为1外其它元素为0的的列向量，是矩阵，是矩阵，是列向量，l是标量；表示自然对数，同上，是逐元素sigmoid函数。

解：

定义，，，则。在前例中已求出 。

使用复合法则，
=
= ，

使用矩阵乘法交换的迹技巧从第一项得到，从第二项得到 = 。

接下来对第二项继续使用复合法则来求，并利用矩阵乘法和逐元素乘法交换的迹技巧：

= = = ，

得到。为求，再用一次复合法则：，得到。

推广：

样本，，其中是列向量，是列向量，其余定义同上。

解1：
定义，，，则。

先同上可求出 。

使用复合法则， = = ，

从第一项得到得到，

从第二项得到，

从第三项得到到。

接下来对第二项继续使用复合法则，得到。

为求，

再用一次复合法则： = ，

得到，。

解2：

可以用矩阵来表示N个样本，以简化形式。
定义，，，，注意这里使用全1向量来扩展维度。先同上求出 。

使用复合法则， = ，

从第一项得到，
从第二项得到，
从第三项得到到。

接下来对第二项继续使用复合法则，得到。

为求, ，再用一次复合法则： = ，得到，。