对三种图像配准方法的说明

图像配准，英文称为image alignment。本文将分别对四种图像配准的方法进行说明，即前向累加法（forward additive）、前向合成法（forward compositional）和逆向合成法（invers compositional）。

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一、forward additive

forward additive method又称为Lucas-Kanade algorithm，它的目标是将一个模板图像T配准（align）到输入图像I上，T表示图像上的提取出来的一个小patch，它的目标函数如图1-1所示：

图1-1.forward additive目标函数

我们的目标就是找到一个warp W，使得目标函数最小。显然求解该目标函数是一个非线性最小二乘问题。（非线性最小二乘问题求解可以参考我们博文 高斯牛顿法估计未知参数。）
迭代方式如图1-2所示：

图1-2.forward additive迭代方式

根据高斯牛顿法对非线性最小二乘问题的求解方法，对图1-2中公式泰勒展开线性化，再令其一阶偏导数等于0，求得Δp，如图1-3所示：

图1-3.线性求解过程

公式中的各类符号说明如图1-4所示：

图1-4.图1-3公式中的符号说明

forward additive算法流程说明如图1-5所示：

图1-5.算法详细流程

二、forward compositional

forward compositional的迭代方式图2-1所示：

图2-1.forward compositional method迭代过程

泰勒展开线性化求解过程如图2-2所示，W(x;0)相当于没有对点进行变化，因此W(W(x;0);p) = W(x;p)：

图2-2.线性化求解过程

具体的算法流程如图2-3所示：

图2-3.forward compositional算法流程

三、inverse compositional

inverse compositional方法将模板T和输入图像I的角色做了反转，迭代方式如图3-1所示：

图3-1.inverse compositional迭代方式

泰勒展开线性化求解非线性最小二乘问题如图3-2所示，注意到其中的Hessian矩阵与之前相比有所不同，用模板T的梯度代替了原来输入图像I的梯度：

图3-2.线性化求解过程

算法的整体流程如图3-3所示：

图3-3.inverse compositional算法流程图

由于inverse compositional的Hessian矩阵和待求参数无关，所以Hessian矩阵可以预先计算出来，而Hessian矩阵是整个算法中最耗时的部分，不用在每一次迭代过程都计算Hessian矩阵就大大提高了算法的效率。

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以上就是对三种图像配准方法的全部说明。